Évolution temporelle des systèmes mécaniques/Systèmes mécaniques oscillants

Le terme oscillant définit un mouvement de part et d’autre d'une position d'équilibre. On considèrera 2 cas :

• le pendule pesant ;
• le pendule élastique, constitué d’un solide fixé sur un ressort.

Pendule pesant

On caractérise la position du pendule à tout un instant par un angle, l'abscisse angulaire (ou élongation) $\alpha$.

Le pendule possède deux positions d'équilibre, une stable et une instable.
Le système oscille autour de la position d'équilibre stable, c'est-à-dire celle pour laquelle le centre d'inertie du solide est sous l'axe.

Pendule non amorti

Amplitude des oscillations d’un pendule non amorti

Les caractéristiques d’un tel pendule sont :

• ${\alpha }_{max}$ : amplitude (plus grande valeur de l'angle)
• $T_0$ : période propre, temps nécessaire pour faire une oscillation complète (aller-retour)

Isochronisme des petites oscillations

Tant que l'amplitude est faible, $T_0$ ne dépend pas de l'amplitude. On parle d'isochronisme.

Pendule amorti

• Dans le cas d’un amortissement faible, la pseudo période est considérée comme égale à la période propre.
• Dans le cas d’un amortissement fort, le régime est apériodique, le mouvement a pour direction la position d'équilibre.

• 
  Amplitude des oscillations d’un pendule amorti (frottement sec)
• 
  Amplitude des oscillations d’un pendule en régime apériodique

Pendule simple

Le pendule simple est un cas particulier de pendule pesant. Il consiste en un solide ponctuel relié à un fil inextensible de masse négligeable. Il possède donc une seule position d'équilibre.
On peut donc calculer l'énergie cinétique à tout instant car tous les points du solide vont à la même vitesse.

Position d'équilibre

À la position d'équilibre, $\overrightarrow{T}+\overrightarrow{P}=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{P}=-\overrightarrow{T}$

Expression de la période

Définition

Rappel

$T_0=\frac{1}{f_0}$, avec $f_0$ la fréquence propre, en Hertz.