Étude et tracé d'une fonction/Exercices/Problèmes divers (2)

Exercice 9-1

1°  Construire la courbe C d'équation :

$y=\frac{x-1}{x^2+1}$

dans un repère R.

2°  Soit A, le point de coordonnées (0,-1). On coupe C par une droite D contenant A et de coefficient directeur m. Formez l'équation du second degré dont les solutions sont les abscisses des points communs à C et D, autres que A.

3°  Démontrer que, entre les solutions de l'équation obtenue, il y a une relation indépendante de m.

4°  Passe-t-il par A des tangentes à C ? Si oui, lesquelles ?

Exercice 9-2

1°  Tracez sur un même graphique les courbes C et T données par leur équation :

$\{\begin{array}{c}C:y^2=2x\\ T:y^2=\frac{8}{27}(x-1{)}^3\end{array}$

2°  Déterminer l'équation de la tangente Δ à T au point d'abscisse 2 et d'ordonnée positive.

3°  Δ rencontre C en deux points P et P'. Calculer l'abscisse du point A, interception des tangentes à C en P et en P'.

Exercice 9-3

Soit C_a la courbe représentative de la fonction f_a définie par :

$f_a(x)=ax+2+\frac{4}{x}$

Indiquer les différentes formes des courbes C_a suivant les valeurs de a. (Représenter soigneusement une courbe de chaque forme.)

Exercice 9-4

1°  Soit M un point de coordonnées (a; b). Quelles sont les coordonnées d'un point M', image de M par la symétrie axiale par rapport à la droite d'équation y = x.

2°  En déduire, par un changement de repère, une relation que doit vérifier une fonction f pour que son tracé admette un axe de symétrie d'équation y = x + p.

3°  Calculer p de façon à ce que la droite d'équation y = x + p soit un axe de symétrie du tracé de la fonction f définie par :

$f(x)=\frac{5x-13}{x-3}$

Exercice 9-5

1°  Soit M, un point de coordonnées (a; b). Quelles sont les coordonnées d'un point M', image de M par la symétrie axiale par rapport à la droite d'équation y = -x.

2°  En déduire, par un changement de repère, une relation que doit vérifier une fonction f pour que son tracé admette un axe de symétrie d'équation y = -x + p.

3°  Calculer p de façon à ce que la droite d'équation y = -x + p soit un axe de symétrie du tracé de la fonction f définie par :

$f(x)=\frac{5x-13}{x-3}$

Exercice 9-6

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle [a, b].

Supposons qu'il existe un réel M tel que :

• pour tout x de [a, b], f(x) ⩽ M
• il existe un réel x₀ dans ]a, b[ tel que f(x₀) = M.

Étudier la valeur f'(x₀). Modèle:Solution

Exercice 9-7

On considère une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $[a,b]$. On suppose en outre que $f(a)=f(b)=0$ et que ${f_d}^{\prime }(a)>0$ et ${f_g}^{\prime }(b)>0$ (${f_d}^{\prime }(a)$ désigne le nombre dérivé de $f$ à droite en $a$ et ${f_g}^{\prime }(b)$ désigne le nombre dérivé de $f$ à gauche en $b$).

1. Prouver que $f$ prend des valeurs positives et négatives sur $]a,b[$.
2. En déduire que l'ensemble des éléments $x$ de $]a,b[$ tels que $f(x)=0$ est non vide.
3. Montrer que cet ensemble a un plus petit élément $c$.
4. Montrer que $f^{\prime }(c)\le 0$.
5. Conclure et interpréter graphiquement.