Étude et tracé d'une fonction/Exercices/Problèmes concrets d'optimisation (2)
Exercice 11-1
Un verger d'un hectare contient 100 pommiers. Chaque pommier produit (environ) 500 pommes. On a déterminé empiriquement que chaque pommier supplémentaire à l'hectare diminue en moyenne le rendement de chaque arbre de 0,25 %. Déterminez le nombre de pommiers supplémentaires que l'on peut planter pour maximiser le rendement du verger.
Exercice 11-2
À midi, un bateau A se trouve à 60 km au nord d'un bateau B. Le bateau B se dirige vers l'est à Modèle:Unité est le bateau A se dirige vers le sud à Modèle:Unité. À quelle heure la distance entre les deux bateaux sera-t-elle minimum, et qu'elle sera-t-elle ?
Exercice 11-3
On donne un demi-cercle de diamètre [AB]. On projette A en P sur la tangente en M à ce demi-cercle. Déterminez M de manière que l'aire du triangle OMP soit maximum (O, milieu de [AB]).
Exercice 11-4
Trouver le maximum et le minimum du produit des cosinus des angles d'un triangle.
Exercice 11-5
Soit P(x) le profit réalisé par la commercialisation d'une quantité x de marchandise. Soit R(x) et C(x), respectivement le revenu et le coût occasionnés par la vente et la production de cette quantité x de marchandises. Expliquez le principe selon lequel :
« Le profit maximum est obtenu lorsque le coût marginal est égal au revenu marginal ».