Étude de fonctions/Limites et asymptotes

Approche

• Soit $f:x\mapsto 2x$.

Que se passe-t-il lorsque $x$ devient de plus en plus grand, autrement dit, lorsque $x$ tend vers l'infini ?
$f(x)$ tend également vers l'infini.

On note : $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }$.

On énonce : « la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ est égale à $+\mathrm{\infty }$ ».

De même, nous pouvons écrire : $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }$.

Intéressons-nous maintenant à une valeur précise de $x$. Par exemple, pour $x=4$, $f(x)=8$. Mais alors si $x$ tend vers 4, $f(x)$ va s'approcher de plus en plus de $f(4)=8$ : $\underset{x\to 4}{\lim }f(x)=8$.

• Soit $g:x\mapsto \frac{1}{x}$.

Si $a$ est un réel quelconque, on a bien : $\underset{x\to a}{\lim }g(x)=\frac{1}{a}$.

Lorsque $x$ devient très grand, nous pouvons concevoir que $\frac{1}{x}$ devient très petit, se rapprochant de 0 : $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }g(x)=0$.

De même, quand $x$ prend des valeurs négatives dont la valeur absolue est très grande, $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }g(x)=0$.

• Soit $h:x\mapsto 3x^2-4x+1$. Essayons de calculer sa limite aux infinis :

  $h(x)=3x^2-4x+1=3x^2(1-\frac{4}{3x}+\frac{1}{3x^2})$

  or nous savons que :

  • $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }1=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }1=1$
  • $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }-\frac{4}{3x}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }-\frac{4}{3x}=0$
  • $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{3x^2}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{3x^2}=0$

  donc $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(1-\frac{4}{3x}+\frac{1}{3x^2})=1$ et finalement $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }h(x)=+\mathrm{\infty }$.

• Plus généralement, calculons la limite d'une fonction polynôme :

  Soit $h:x\mapsto \sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i$.

  $h(x)=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i=a_n{x}^n\left(\sum _{i=0}^n\frac{a_i{x}^i}{a_n{x}^n}\right)=a_n{x}^n(1+\sum _{j=0}^{n-1}\frac{a_j{x}^j}{a_n{x}^n})=a_n{x}^n(1+\sum _{j=0}^{n-1}\frac{a_j}{a_n{x}^{n-j}})$.

  Or :

  • lorsque $0\le j<n$$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\frac{a_j}{a_n{x}^{n-j}}\right)=0$
  • $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }1=1$

  d'où : $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }(1+\sum _{j=0}^n\frac{a_j}{a_n{x}^{n-j}})=1$

  et : $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }h(x)=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n{x}^n$.

Nous retiendrons qu'une fonction polynôme se comporte, aux infinis, comme son terme de plus haut degré.

Définition

Limite finie en l'infini

• Soit $f$ une fonction définie d'un nombre réel jusqu'à l'infini. Soit $l$ un nombre réel. On dit que $f$ tend vers $l$ quand $x$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ si et seulement si tout intervalle ouvert contenant $l$ contient aussi toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ assez grand. On écrit :

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=l$

• On dit que $f$ tend vers $l$ quand $x$ tend vers $-\mathrm{\infty }$ si et seulement si tout intervalle ouvert contenant $l$ contient aussi toutes les valeurs de $f(x)$ pour $-x$ assez grand (ou $x$ assez petit, $x$ pouvant être négatif). On écrit :

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=l$

Interprétation graphique

$C_f$ admet une asymptote horizontale d'équation $y=l$ au voisinage de $\pm \mathrm{\infty }$

L'asymptote d'une courbe représentative d'une fonction dans un plan est une droite qui partage une limite commune avec la fonction étudiée. L'équation de cette asymptote dépend de la situation de la limite commune (en l'infini ou en un point...)

Limite infinie en l'infini

• On dit que la fonction $f$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ quand $x$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ si et seulement si tout intervalle $]\lambda ;+\mathrm{\infty }[$ avec $\lambda$ un nombre réel contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ suffisamment grand. On écrit :

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }$

• On dit que la fonction $f$ tend vers $-\mathrm{\infty }$ quand $x$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ si et seulement si tout intervalle $]-\mathrm{\infty };\lambda [$ avec $\lambda$ un nombre réel contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ suffisamment grand. On écrit :

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }$

• On écrit :

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }$ ou $\underset{-\mathrm{\infty }}{\lim }f=+\mathrm{\infty }$

si et seulement si tout intervalle $]\lambda ;+\mathrm{\infty }[$ avec $\lambda$ un nombre réel contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ suffisamment petit.

• On écrit :

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }$ ou $\underset{-\mathrm{\infty }}{\lim }f=-\mathrm{\infty }$

si et seulement si tout intervalle $]-\mathrm{\infty };\lambda [$ avec $\lambda$ un nombre réel contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ suffisamment petit.

Limite finie ou infinie en un réel

• Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$ contenant un nombre réel $a$.

On dit que $f$ tend vers $l$ quand $x$ tend vers $a$ si et seulement si tout intervalle ouvert contenant $l$ contient aussi toutes les valeurs de $f(x)$ pour tout réel $x$ de $I$ assez proche de $a$. On écrit :

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$ $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=l$

• On dit que $f$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ quand $x$ tend vers $a$ si et seulement si tout intervalle $]\lambda ;+\mathrm{\infty }[$ avec $\lambda$ un nombre réel contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ suffisamment proche de $a$. On écrit :

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }$

• On dit que $f$ tend vers $-\mathrm{\infty }$ quand $x$ tend vers $a$ si et seulement si tout intervalle $]-\mathrm{\infty };\lambda [$ avec $\lambda$ un nombre réel contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ suffisamment proche de $a$. On écrit :

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }$

Interprétation graphique

Si $\underset{a}{\lim }f=+\mathrm{\infty }$ (ou $-\mathrm{\infty }$) alors $C_f$ admet une asymptote verticale d'équation $x=a$ au voisinage de $\pm \mathrm{\infty }$.

Limite aux infinis de fonctions de référence

Exemple 1

2 fonctions affines

• $g:x\mapsto ax+b;(a,b)\in {ℝ}^2$

Si $a>0$	Si $a<0$
$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }g(x)=+\mathrm{\infty }$	$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }g(x)=-\mathrm{\infty }$
$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }g(x)=-\mathrm{\infty }$	$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }g(x)=+\mathrm{\infty }$

Exemple 2

Fonction puissance paire

• $h:x\mapsto x^{2n};n\in {\mathbb{N}}^{*}$

$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }h(x)=+\mathrm{\infty }$ Modèle:Clr

Exemple 3

3 fonctions de puissance impaire

• $k:x\mapsto x^{2n+1};n\in {\mathbb{N}}^{*}$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }k(x)=+\mathrm{\infty }$
$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }k(x)=-\mathrm{\infty }$

Exemple 4

fonction inverse

• $l:x\mapsto \frac{1}{ax+b}$

avec $(a,b)\in {ℝ}^2,ax+b\ne 0$
$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }l(x)=0$ Modèle:Clr

Exemple 5

• $m:x\mapsto \sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i$

$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }m(x)=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n{x}^n$

D'autres outils pour les limites

Théorèmes

Théorème de comparaison

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un intervalle du type $]\lambda ;+\mathrm{\infty }[$ (ou $]-\mathrm{\infty };\lambda [$) avec $\lambda$ un nombre réel tel que pour tout $x$ appartenant à cet intervalle, $f(x)\le g(x)$.

Si $\underset{+\mathrm{\infty }(-\mathrm{\infty })}{\lim }f=+\mathrm{\infty }$ alors $\underset{+\mathrm{\infty }(-\mathrm{\infty })}{\lim }g=+\mathrm{\infty }$

Théorème de l'encadrement (dit "théorème des gendarmes")

Soient $f$, $g$ et $h$ trois fonctions définies sur un intervalle du type $]\lambda ;+\mathrm{\infty }[$ (ou $]-\mathrm{\infty };\lambda [$) avec $\lambda$ un nombre réel tel que pour tout $x$ appartenant à cet intervalle, $f(x)\le g(x)\le h(x)$.

Si $\underset{+\mathrm{\infty }(-\mathrm{\infty })}{\lim }f=\underset{+\mathrm{\infty }(-\mathrm{\infty })}{\lim }h=a$ avec $a$ un nombre réel ou $+\mathrm{\infty }$ ou $-\mathrm{\infty }$ alors $\underset{+\mathrm{\infty }(-\mathrm{\infty })}{\lim }g=a$

Asymptotes

La courbe représentative de la fonction inverse, lorsque $x$ est de plus en plus grand ou de plus en plus petit, se rapproche de l’axe des abscisses mais sans la toucher. Cette dernière est en fait une asymptote horizontale de la fonction inverse.

De même, la courbe se rapproche également de l’axe des ordonnées, sans jamais la croiser, lorsque $x$ tend vers 0. Nous avons là une asymptote verticale de la fonction.

Asymptote horizontale et verticale

Dire que la courbe représentative d'une fonction $f$ se rapproche d'une droite horizontale d'équation $y=a$ quand $x$ devient très grand (ou très petit) signifie que $f(x)$ tend vers la valeur $a$ quand $x$ tend vers l'infini.

Ainsi, la droite $\mathrm{\Delta }:y=a$ est asymptote horizontale de $f$ si et seulement si $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=a$.

Quand la courbe représentative de $f$ rapproche d'une droite verticale d'équation ${\mathrm{\Delta }}_2:x=b$, c’est $f(x)$ qui tend vers l'infini cette fois, lorsque x se rapproche de cette valeur $b$.

On a : $\underset{x\to b}{\lim }f(x)=\pm \mathrm{\infty }$

Chercher une asymptote horizontale d'une fonction revient à calculer la limite en $\pm \mathrm{\infty }$ de cette fonction.

Lorsqu’il y a une asymptote verticale en $x=b$, la courbe de la fonction ne touche pas la droite, et donc $f(b)$ n’est pas définie ; il s'agit d'une borne du domaine de définition de la fonction.

Chercher une asymptote verticale d'une fonction revient alors à calculer les limites aux bornes du domaine de définition de cette fonction.

Asymptote oblique

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I=]\lambda ;+\mathrm{\infty }[$ (ou $]-\mathrm{\infty };\lambda [$) avec $\lambda$ un nombre réel telle que l’on ait :

$\underset{+\mathrm{\infty }(-\mathrm{\infty })}{\lim }[f(x)-(ax+b)]=0$.

Alors la droite d'équation $y=ax+b$ est une asymptote oblique à la courbe représentative de $f$ au voisinage de $+\mathrm{\infty }$ (ou $-\mathrm{\infty }$).

Limite de la composée de deux fonctions

Les lettres $a$, $b$ et $c$ désignent soit des nombres réels, soit $+\mathrm{\infty }$ soit $-\mathrm{\infty }$.
Soit la fonction composée $g\circ f$ définie sur un intervalle $I$ contenant $a$, ou dont $a$ est une borne.

Si $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=b$ et si $\underset{y\to b}{\lim }g(y)=c$ alors $\underset{x\to a}{\lim }(g\circ f)(x)=c$