Étude de fonctions/Exercices/Fonctions associées

Exercice 1

Soit u une fonction définie sur $[-3;5]$ dont on donne le tableau de variation :

$\begin{array}{cccccccc}x& -3& & 0& & 2& & 5\\ & & & 4& & & & \\ & & \nearrow & & \searrow & & & \\ \text{Variations~de}u& 2& & & & 0& & \\ & & & & & & \searrow & \\ & & & & & & & -6\end{array}$

Déterminer le tableau de variation des fonctions suivantes : $f:x\mapsto u(x+1)-2$ $g:x\mapsto 2-u(x-3)$ $h:x\mapsto |u(x)|$

Exercice 2

On pose les fonctions $f$ et $u$, définies sur $ℝ$ par :

• $f:x\mapsto -(x-1{)}^2+5$ ;
• $u:x\mapsto x^2$.

On note ${𝒞}_f$ et ${𝒞}_u$ les courbes représentatives de $f$ et $u$ dans un repère orthonormé $(\mathrm{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ donné.

1. Pour tout x, écrire $f$(x) en utilisant $u$.
2. Donner les transformations qui permettent d'obtenir ${𝒞}_f$ à partir de ${𝒞}_u$
3. Dresser le tableau de variations de $f$.

Exercice 3

Modèle:Wikipédia La figure ci-dessous représente le graphe, en gras, d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $ℝ$ (attention : le repère n'est pas orthonormé !), ainsi que deux droites DModèle:Ind et DModèle:Ind.

1. Dire à quelle droite correspond chaque équation

   $y=x+3$, (1)

   $y=2x+3$. (2)

2. Expliquez pourquoi on a $f(x)<3$ pour tout $x$ dans l'intervalle [−1, 1].
3. D'après le graphe de $f$ donné, quelles semblent être les limites de $f$ en $-\mathrm{\infty }$ et en $+\mathrm{\infty }$ ?
   Dans les deux questions suivantes, on admet que le comportement de $f$ en $-\mathrm{\infty }$ et en $+\mathrm{\infty }$ est celui-là.
4. Donner le signe sur $ℝ$ de la dérivée $f^{\prime }$ de $f$. Dressez alors le tableau de variations de $f$.
5. Donner une valeur approchée du réel $\gamma$ vérifiant $f(\gamma )=10$.

Exercice 4

La figure ci-dessous montre le nombre de phoques et d'ours dans une population arctique. L'évolution de ces deux populations a été étudiée sur une période de 600 jours.

1. Quelles sont les populations initiales de phoques et d'ours ?
2. Quelle est la vitesse de croissance de la population de phoques à l'instant initial ?
3. Quelle est la valeur de la dérivée de la population de phoques en fonction du temps :
   • lorsque le nombre de phoques est le plus important ?
   • lorsqu'il est le moins important ?

   Expliquer ce que signifie le résultat obtenu.

4. Faire un tracé approximatif de la dérivée de la population de phoques en fonction du temps.
5. En déduire des valeurs approximatives de la taille de la population de phoques :
   • lorsque sa dérivée est la plus grande ;
   • lorsque sa dérivée est la plus faible.

   Expliquer également la signification du résultat obtenu.