Équivalents et développements de suites/Exercices/Équivalent d'une suite définie par récurrence

Exercice 4-1

Trouver un équivalent de la suite (u_n)_n∈ℕ définie par :

$\{\begin{array}{c}{u}_0\in ]0,1[\\ u_{n+1}=u_n-u_n^2.\end{array}$

Exercice 4-2

Trouver un équivalent de la suite (u_n)_n∈ℕ définie par :

$\{\begin{array}{c}{u}_0\in ]2/\pi ,+\mathrm{\infty }[\\ u_{n+1}=\frac{u_n}{\cos \frac{1}{u_n}}.\end{array}$

Exercice 4-3

Soit $a\in ]0,\pi [$. Trouver un équivalent de la suite (u_n)_n∈ℕ des sinus itérés de $a$, définie par :

$\{\begin{array}{c}{u}_0=a\\ u_{n+1}=\sin u_n.\end{array}$

Modèle:Solution Pour aller plus loin, voir ce lien.

Exercice 4-4

Soit $a\in ℝ$. Trouver un équivalent de la suite $(u_n{)}_{n\ge 1}$ définie par $u_1=a$ et $\mathrm{\forall }n\ge 1u_{n+1}=\frac{\exp (-u_n)}{n}$. Modèle:Solution

Exercice 4-5

Soit $a\in ℝ$. Trouver un équivalent de la suite $(u_n{)}_{n\ge 0}$ définie par $u_0=a$ et $\mathrm{\forall }n\ge 1(n+1{)}^2{u}_n=(n-1)u_{n-1}+n$. Modèle:Solution

Exercice 4-6

Calculer $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{k+1}{2nk+k}$. Modèle:Solution