Équivalents et développements de suites/Exercices/Équivalent d'une suite définie de manière explicite

Exercice 1-1

Calculer le développement asymptotique à l’ordre 4 de la suite définie par :

$u_n=\ln (n\sin \frac{1}{n})$

Exercice 1-2

Calculer le développement asymptotique à l’ordre 2 de la suite définie par :

$u_n=\exp \left(\frac{1-\sqrt{n}}{1+n}\right)$.

Exercice 1-3

Calculer les deux premiers termes du développement asymptotique de la suite définie par :

$u_n=\sin [\cos (\frac{\pi }{2}-\frac{n}{2^n})]$

Exercice 1-4

Calculer le développement asymptotique à l’ordre 4 de la suite définie par :

$u_n=\sqrt{1+\frac{1}{n}\sqrt{1+n^2}}$.

Exercice 1-5

Déterminer des équivalents simples des suites suivantes :

• $t_n=\sqrt{n^2+2}-n$.
• $u_n=\ln (\cos \frac{1}{n})\ln (\sin \frac{1}{n})$ ;
• $v_n=\sqrt{1+\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}}-1$ ;
• $w_n={(1+\frac{x}{n})}^n$.

Exercice 1-6

Soit $u_n=\sum _{k=0}^n\frac{1}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}$. Démontrer que $\sum _{k=2}^{n-2}\frac{1}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}<\frac{2}{n}$ (pour tout $n\ge 4$) et en déduire $\lim u_n$. Modèle:Solution