Équivalents et développements de suites/Équivalent d'une suite définie par récurrence

Nous étudions, dans ce chapitre, les suites définies par récurrence. Modèle:Clr

Un premier exemple

Soit $a\in ℝ$. Nous allons chercher un développement limité à un ordre quelconque de la suite (u_n)_n∈ℕ définie par :

$\{\begin{array}{c}{u}_0=a\\ u_{n+1}=1+\frac{u_n}{n+1}.\end{array}$

Autrement dit :

$u_n=O(1)$.

On peut alors en déduire le développement de u_n à n’importe quel ordre. Par exemple, à l'ordre 3 :

$\begin{array}{cc}{u}_n& =1+\frac{u_{n-1}}{n}\\ & =1+\frac{1+\frac{u_{n-2}}{n-1}}{n}\\ & =1+\frac{1}{n}+\frac{1+\frac{u_{n-3}}{n-2}}{n(n-1)}\\ & =1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n(n-1)}+\frac{1+\frac{u_{n-4}}{n-3}}{n(n-1)(n-2)}\\ & =1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n(n-1)}+\frac{1}{n(n-1)(n-2)}+\frac{O(1)}{n(n-1)(n-2)(n-3)}\\ & =1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2(1-\frac{1}{n})}+\frac{1}{n^3}+o\left(\frac{1}{n^3}\right)\\ & =1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^3}+o\left(\frac{1}{n^3}\right).\end{array}$

Le théorème de Cesàro

Nous allons maintenant étudier quelques théorèmes utiles dans la recherche d’équivalents d’une suite définie par récurrence. Nous commencerons par le théorème de Cesàro qui nous sera utile pour démontrer les autres théorèmes qui viendront par la suite.

L'exemple qui suit est une application du théorème de Cesàro.

Deux théorèmes découlant du théorème de Cesàro

Les deux théorèmes ci-dessous généralisent respectivement l'exemple qui précède et l'exercice 4-1. Le second se déduit du premier.

Un autre théorème

Modèle:Théorème (Pour une généralisation, voir Série numérique/Théorème de Stolz-Cesàro.) Modèle:Démonstration déroulante

Voici une application de ce théorème : Modèle:Exemple