Équation du troisième degré/Fonctions polynômes du troisième degré

Dans ce chapitre, nous étudierons les courbes du troisième degré. Nous verrons que l'allure générale du tracé d'une courbe du troisième degré dépend principalement de deux éléments. Le premier élément est le signe du coefficient du terme de plus haut degré. Le deuxième élément est le discriminant du second degré de la dérivée de la fonction à étudier. Le discriminant du troisième degré de la fonction n'intervient, quant à lui, seulement pour préciser le nombre de points d'intersection entre la courbe et l'axe des abscisses.

Définition des éléments nécessaires à l'étude des fonctions polynômes du troisième degré

Modèle:Attention

De la définition précédente, on déduit qu'une fonction polynôme du troisième degré est définie sur $ℝ$ tout entier.

Modèle:Propriété

Modèle:Démonstration déroulante

Modèle:Propriété

Modèle:Démonstration déroulante

Le tableau de variation de la fonction du troisième degré à étudier dépend uniquement du signe du terme de plus haut degré et de Δ'. Dans la suite de ce chapitre, nous distinguerons donc quatre cas selon le signe du coefficient du terme de plus haut degré et selon le signe de Δ'. Pour chacun des quatre cas, nous tracerons les différentes courbes possibles associées au tableau de variation établi pour le cas considéré.

Premier cas : le coefficient du terme de plus haut degré est positif et Δ' est strictement positif

Modèle:Démonstration déroulante

En posant :

$\mathrm{\Psi }=2b^3+27a^{2}d-9abc$

Les coordonnées du centre de symétrie sont (voir exercice 3-6) :

$(-\frac{b}{3a};\frac{\mathrm{\Psi }}{27a^2})$

Nous voyons alors que le signe de Ψ nous renseigne sur la position du centre de symétrie par rapport à l'axe des abscisses.

Dans le tableau suivant, nous avons représenté quelques tracés de courbes qui tiennent compte du discriminant et de la position du centre de symétrie par rapport à l'axe des abscisses. Nous avons vu dans le chapitre précédent que le signe du discriminant permet de prévoir le nombre de racines réelles et par conséquent le nombre de points d'interception de la courbe avec l'axe des abscisses. La position du centre de symétrie donnée par le signe de Ψ, quant à elle, nous permet une localisation grossière des racines dans l’ensemble des nombres réels.

Les 6 cas qui peuvent se présenter

a > 0	Δ < 0	Δ > 0	Δ = 0
Ψ > 0	Une racine < -b/3a	Une racine < -b/3a < deux racines	Une racine simple < -b/3a < une racine double
Ψ < 0	Une racine > -b/3a	Deux racines < -b/3a <une racine	Une racine double < -b/3a < une racine simple

Deuxième cas : le coefficient du terme de plus haut degré est positif et Δ' est négatif ou nul

Les 4 cas qui peuvent se présenter

a > 0	Δ < 0	Δ = 0
Ψ > 0	Une racine < -b/3a	Impossible
Ψ = 0	Une racine = -b/3a	Une racine triple
Ψ < 0	Une racine > -b/3a	Impossible

Troisième cas : le coefficient du terme de plus haut degré est négatif et Δ' est strictement positif

Modèle:Démonstration déroulante

Les 6 cas qui peuvent se présenter

a < 0	Δ < 0	Δ > 0	Δ = 0
Ψ > 0	Une racine > -b/3a	Deux racines < -b/3a < une racine	Une racine double < -b/3a < une racine simple
Ψ < 0	Une racine < -b/3a	Une racine < -b/3a < deux racines	Une racine simple < -b/3a < une racine double

Quatrième cas : le coefficient du terme de plus haut degré est négatif et Δ' est négatif ou nul

Les 4 cas qui peuvent se présenter

a < 0	Δ < 0	Δ = 0
Ψ > 0	Une racine > -b/3a	Impossible
Ψ = 0	Une racine = -b/3a	Une racine triple
Ψ < 0	Une racine < -b/3a	Impossible

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