Équation du troisième degré/Exercices/Exercices sur l'équation du troisième degré

Exercice 1-1

Donner le degré des équations suivantes :

a) $5x=\frac{x^2+2}{x^2-2}$

b) $(x-1)(x+2)(x+3)=(x+4)(x-2)(x+1)$ Modèle:Solution

Exercice 1-2

Résoudre les équations suivantes :

$a)x^3+x^2+x+1=0$ ;

$b)x^3+3x^2-3x-10=0$ ;

$c)5x^3+2x^2+1x+1=0$.

Exercice 1-3

Soit P un polynôme du troisième degré, P' (de degré 2) son polynôme dérivé, et Modèle:Formule une racine de P.

a) Montrer que Modèle:Formule est racine multiple de P si et seulement si Modèle:Formule est racine de P', et que Modèle:Formule est même racine triple de P si et seulement si Modèle:Formule est même racine double P'.

b) Si Modèle:Formule est racine seulement simple de P' (donc racine seulement double de P), donner sa valeur en fonction des coefficients de P, à l'aide des calculs faits en cours pour trouver le « résultant RModèle:Ind ».

c) En déduire les solutions des deux équations suivantes :

α) $\frac{4x^2}{3}=\frac{\sqrt{3}-6x}{2x-\sqrt{27}}$ ;

β) $x^3-5x^2+x-1=4x\sqrt{2}$.

Exercice 1-4

Résoudre le système de trois équations à trois inconnues suivant :

$\{\begin{array}{c}yz=x-7\\ xz=y+7\\ x+2y=z\end{array}$.

Exercice 1-5

Soient $P$ un polynôme du second degré et $Q(X)=(X-\alpha )P(X)$. Montrer que

${\mathrm{\Delta }}_Q={\mathrm{\Delta }}_P\times (P(\alpha ){)}^2$.

Exercice 1-6

On veut construire une boîte de base carrée de volume Modèle:Unité en découpant, à chaque coin d'une plaque en carton de Modèle:Unité de côté, un carré de côté x cm, et en repliant bord à bord les quatre rectangles ainsi créés.

1. Vérifier qu'une solution est x = 2,5.
2. Montrer qu'il y a une seule autre solution et la calculer.