Équation du quatrième degré/Généralités sur les équations du quatrième degré

Ce chapitre est consacré aux généralités sur les équations du quatrième degré. Après avoir défini une équation du quatrième degré, nous nous intéresserons au cas particulier des équations ayant tous leurs coefficients réels. Nous verrons ensuite les relations liant les racines de l'équation aux coefficients de l'équation. Nous aborderons ensuite l'étude du discriminant d'une équation du quatrième degré.

Définition d'une équation du quatrième degré

Avant de commencer à manipuler les équations du quatrième degré, nous devons bien savoir ce que c'est. Modèle:Définition

Dans l'intégralité de ce cours, nous supposerons, si rien n'est précisé, que les coefficients de l'équation appartiennent à un ensemble quelconque et en particulier peuvent, par conséquent, être des nombres complexes. Modèle:Exemple

Équations dont les coefficients sont des nombres réels

Dans ce paragraphe, nous étudierons plus particulièrement les équations dont les coefficients sont des nombres réels.

Nous avons le théorème suivant : Modèle:Théorème

Du théorème précédent, nous en déduisons immédiatement la propriété suivante : Modèle:Propriété

Somme et produit des racines

Lors de l'étude des équations du second degré et du troisième degré, vous avez dû voir qu’il existe des relations simples donnant la somme et le produit des racines en fonction des coefficients des monômes de l'équation.

Nous allons voir qu’il en est de même pour les équations du quatrième degré.

Nous avons : Modèle:Théorème

Le théorème précédent va nous permettre de calculer certaines expressions portant sur les racines.

Une autre définition :

Nous avons alors la proposition suivante : Modèle:Proposition Modèle:Démonstration déroulante

Cette proposition est généralisée par le théorème suivant :

Discriminant d'une équation du quatrième degré

Pour une équation de degré $n$, le discriminant peut se définir en fonction des racines x₁, x₂, … , x_n par la formule :

$\mathrm{\Delta }=a_n^{2n-2}\prod _{i<j}(x_i-x_j{)}^2$.

Pour une équation du quatrième degré, cette définition se réécrit : Modèle:Définition

Nous observons que l’expression donnant le discriminant est un polynôme symétrique par rapport aux racines de l'équation. Nous en déduisons que le discriminant doit pouvoir s'exprimer simplement par rapport aux coefficients de l'équation. En particulier, il doit être réel si les coefficients le sont.

Nous avons en effet le théorème suivant : Modèle:Théorème Modèle:Exemple Modèle:Démonstration déroulante

Nous remarquons que le discriminant du quatrième degré contient 16 termes, ce qui peut paraître beaucoup. On peut toutefois remédier à ce désagrément en posant la définition suivante :

On peut alors simplifier l’expression du discriminant grâce au théorème suivant :

Modèle:Remarque

Le discriminant, pour un polynôme de degré 4, rend les mêmes services que pour un polynôme de degré 3. La principale propriété est exprimée par ce qui suit : Modèle:Propriété Modèle:Démonstration déroulante

Modèle:Remarque