Équation du quatrième degré/Exercices/Sur les méthodes particulières

Exercice 4-1

Résoudre dans l’ensemble des nombres réels l'équation :

$\frac{2x^3-x^2-4}{3x^2-1}=\frac{8}{x}$

en exprimant les solutions à l'aide d'une fonction tangente.

Exercice 4-2

Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l'équation :

$\frac{x^4+2}{x^2-2x+2}=4x$

Exercice 4-3

Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l'équation :

$\frac{(x^2-3x-1)(x^2-3x+1)}{6x}=i$

(avec iModèle:Exp = -1.)

Exercice 4-4

Soit ABC un triangle isocèle en A. Soit H, le pied de la hauteur issu de A. On pose h = AH. Soit ₡ le cercle de centre H, de rayon r et tangent aux deux côtés [AB] et [AC].

Calculer le rapport h/r de façon que l'aire du triangle ABC soit égale à l'aire du cercle ₡.

Exercice 4-5

Soit une équation du second degré :

$a{x}^2+bx+c=0$

ayant pour racines x₁ et x₂

et une autre équation du second degré :

$d{y}^2+ey+f=0$

ayant pour racines y₁ et y₂.

Première partie.

On pose :

$\{\begin{array}{c}{z}_1=x_1\times y_1,\\ z_2=x_1\times y_2,\\ z_3=x_2\times y_1,\\ z_4=x_2\times y_2.\end{array}$

Montrer que l'équation du quatrième degré ayant pour racines z₁, z₂, z₃, z₄ est une équation réciproque (quasisymétrique) du quatrième degré.

Deuxième partie.

On pose :

$\{\begin{array}{c}{z}_1=x_1+y_1,\\ z_2=x_1+y_2,\\ z_3=x_2+y_1,\\ z_4=x_2+y_2.\end{array}$

Montrer que l'équation du quatrième degré ayant pour racines z₁, z₂, z₃, z₄ se ramène à une équation bicarrée.

Exercice 4-6

Nous avons vu en cours que $a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e=0$ équivaut à une équation de la forme $z^4+p{z}^2+qz+r=0$.

Préciser $p,q,r$ sous la forme de fractions dépendant de $a,b,c,d,e$. Modèle:Solution

Exercice 4-7

Trouver les racines rationnelles de $P:=2X^4-X^3-X^2-X-3$. Modèle:Solution