Équation différentielle/Exercices/Vitesse terminale en chute libre

Considérons un objet de masse m en chute libre.

Les forces en présence sont, en projection sur l'axe vertical orienté vers le bas :

• le poids : $P=......................$
• Le frottement fluide F de l'air, d'intensité proportionnelle à la vitesse v,

le coefficient de frottement est noté h, donc

$F=.......................$

Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

$................=...........................$

C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants.

En supposant que l’objet est lâché sans vitesse initiale,

l'objectif est de donner la solution $v(t)$

exprimant la vitesse du corps en fonction du temps t.

Réécrivons cela sous la même forme que dans la définition :

$..................................=0$

La solution est, d’après ce qui fut rappelé précédemment, une fonction de la forme :

$v(t)=........................................$

Supposons que la vitesse soit nulle à l'origine, c'est-à-dire $v(0)=.........$.

Cela donne pour la solution générale :

$...................................=...........................$

La solution finale au problème est donc :

$v(t)=................................................................$

Modèle:Solution

Application numérique : Tracer v en fonction de t pour :

• $m=0,00416$
• $h=3,4\times 10^{-6}$
• $g=9,81$

Modèle:Bas de page