Équation différentielle/Exercices/Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients variables

Modèle:Exercice Modèle:Clr Cette page ne traite que des équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients non constants.

Pour les équations différentielles linéaires d'ordre 1, voir [[../../Équation différentielle linéaire du premier ordre|ce chapitre]] et pour celles d'ordre 2 à coefficients constants, [[../../Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants|ce chapitre]] (et bien sûr, les exercices liés).

Équations à coefficients polynomiaux

1.  $(1+x^2)y^{″}+x{y}^{\prime }-y=0$.

Pour résoudre, poser $y=zx$.

2.  $x{y}^{″}+2(x-1)y^{\prime }-4y=0$.

Pour résoudre, chercher une solution polynomiale et une solution exponentielle.

3.  $x{y}^{″}+2y^{\prime }+xy=0$.

Résoudre d'abord sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ et sur $]-\mathrm{\infty },0[$, en posant $z=xy$.

Modèle:Solution 4.  Soient $a,b\in ℝ$, $I\subset {ℝ}_{+}^{*}$ et $k:I\to ℝ$ continue. On considère l'équation

(E) : $x^2{y}^{″}+ax{y}^{\prime }+by=k(x)$.

Montrer que par un changement de variable $t=\ln x$, on se ramène à une e.d.l. à coefficients constants.

Application : Résoudre sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ :

1. $x^2{y}^{″}+x{y}^{\prime }+y=0$ ;
2. $x^2{y}^{″}-2y=x$ ;
3. $x^2{y}^{″}+3x{y}^{\prime }+y=1+x^2$ ;
4. $x^2{y}^{″}+x{y}^{\prime }+y=x\ln |x|$.

Équation yModèle:'Modèle:' + qy = 0

On considère l'équation différentielle $y^{″}+qy=0$, où $q:{ℝ}_{+}\to ℝ$ est continue et intégrable.

1. Montrer que pour toute solution $y$ bornée, $\underset{+\mathrm{\infty }}{\lim }{y}^{\prime }$=0.
2. Soient $u$ et $v$ deux solutions bornées. Que peut-on dire de leur wronskien $w$ ?
3. Montrer qu'il existe des solutions non bornées.

Théorèmes de Sturm : étude qualitative

On considère l'équation différentielle

$(E_0):x^{″}(t)+a(t)x^{\prime }(t)+b(t)x(t)=0$,

où $a,b:I\to ℝ$ sont des fonctions continues.

1. Soit $x$ une solution non nulle de $(E_0)$.
   1. Montrer que les zéros de $x$ sont simples et isolés, c'est-à-dire : si $x(t_0)=0$ alors $x^{\prime }(t_0)\ne 0$ et, dans un intervalle assez petit autour de $t_0$, le seul zéro de $x$ est $t_0$.
   2. Montrer que si $\alpha$ et $\beta$ sont deux zéros consécutifs de $x$ alors $x^{\prime }(\alpha )x^{\prime }(\beta )<0$.
2. Soient $u$ et $v$ deux solutions de $(E_0)$ linéairement indépendantes.
   1. Soient $\lambda ,\mu \in ℝ$ et $x=\lambda u+\mu v$. Déduire de la question 1.1 que si $x$ et $x^{\prime }$ s'annulent simultanément en un point, alors $\lambda =\mu =0$.
   2. Retrouver ainsi (cf. [[../../Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients variables#Le wronskien|cours]]) que le wronskien $W=u{v}^{\prime }-u^{\prime }v$ ne s'annule pas.
3. Déduire de tout ce qui précède que :
   1. $u$ et $v$ n'ont pas de zéro commun ;
   2. si $u$ s'annule plusieurs fois alors, entre deux zéros consécutifs de $u$, il y a exactement un zéro de $v$.