Équation différentielle/Exercices/Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants

Équations sans second membre

Résoudre sur $ℝ$ les équations suivantes :

1. $y^{″}+2y^{\prime }-3y=0$
2. $9y^{″}-6y^{\prime }+y=0$
3. $4y^{″}+4y^{\prime }+y=0$
4. $9y^{″}-6y^{\prime }=0$
5. $y^{″}-5y^{\prime }+6y=0$
6. $y^{″}+{\omega }^{2}y=0$
7. $y^{″}-4y^{\prime }+4y=0$

Modèle:Solution Trouver toutes les fonctions $f$ dérivables sur $ℝ$ vérifiant : $f^{\prime }(t)-f(t)=3\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(s)\mathrm{d}s$ et $f(0)=1$. Modèle:Solution Déterminer l'ensemble des couples $(a,b)\in {ℝ}^2$ tels que toutes les solutions sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ de $y^{″}+a{y}^{\prime }+by=0$ soient bornées. Modèle:Solution

Équations avec second membre

1. $y^{″}-2y^{\prime }-3y=5$
2. $y^{″}+6y^{\prime }+10y=4$
3. $y^{″}-4y=t+1$
4. $y^{″}-y=5x+2$
5. $y^{″}-2y^{\prime }+y=t^2-t+1$
6. $y^{″}+y^{\prime }-2y=t-1$
7. $y^{″}+y=|x|+1$
8. $y^{″}-2y^{\prime }+y={\mathrm{e}}^{|x|}$
9. $y^{″}-4y^{\prime }+4y=(x^2+1){\mathrm{e}}^x$
10. $y^{″}+4y^{\prime }-5y=x+1$
11. $y^{″}+4y^{\prime }-5y=2{\mathrm{e}}^x$
12. $y^{″}+y={\cos }^{2}x$.

Modèle:Solution Résoudre $y^{″}-4y^{\prime }+3y=g_i$, pour

1. $g_1(x)=x+1$ ;
2. $g_2(x)={\mathrm{e}}^{2x}$ ;
3. $g_3(x)={\mathrm{e}}^x$ ;
4. $g_4(x)=2x+3{\mathrm{e}}^{2x}-5{\mathrm{e}}^x+2$.

Modèle:Solution Résoudre $y^{″}+2y^{\prime }+4y=g_i$, pour

1. $g_1(x)=3$ ;
2. $g_2(x)=x{\mathrm{e}}^{-2x}$ ;
3. $g_3(x)={\mathrm{e}}^{-x}\cos (x\sqrt{3})$.

Modèle:Solution Considérons l'équation différentielle $(E):x^2{y}^{″}+4x{y}^{\prime }+(2-x^2)y=1$.

1. À quelle équation différentielle satisfait la fonction $u=x^{2}y$ ? En déduire, sur chacun des intervalles ${ℝ}_{-}$ et ${ℝ}_{+}$, les solutions de $(E)$.
2. Montrer qu'il existe une fonction $f$ et une seule définie sur $ℝ$ qui soit solution de $(E)$ (on pourra utiliser un développement de Taylor ou la règle de l'Hôpital).

Avec conditions initiales

Déterminer la solution de $(E)$ vérifiant les conditions initiales données.

1. $y^{″}+4y^{\prime }-5y=10,y(0)=4,y^{\prime }(0)=0$ ;
2. $y^{″}+4y^{\prime }+5y=10x-2,f(0)=1,y^{\prime }(0)=1$ ;
3. $2y^{″}-5y^{\prime }-3y=-3t^2-10t+4,y(0)=0,y^{\prime }(0)=-1$.
4. $y^{″}+{\omega }^{2}y=\sin ({\omega }^{\prime }t),y(0)=y^{\prime }(0)=0$, pour $\omega ,{\omega }^{\prime }>0$ ;
5. $m{y}^{″}+\epsilon y^{\prime }+ky=-mg,y(0)=y_0,y^{\prime }(0)=0$, pour $k,m,g>0$ et $0<\epsilon <2\sqrt{km}$, et déterminer $\underset{+\mathrm{\infty }}{\lim }y$ ;
6. $y^{″}-2y^{\prime }-8y=0,y(0)=0,y^{\prime }(0)=1$, et déterminer $\underset{+\mathrm{\infty }}{\lim }y$.

Soient $\alpha ,\beta \in ℝ$ fixés. Montrer que pour tout $m\in ]0,2[$, l'équation

$y^{″}+(1-2m)y^{\prime }-2my=e^{2x},y(0)=\alpha ,y^{\prime }(0)=\beta$

admet une unique solution $y_m$.

Établir

$\underset{m\to 1}{\lim }{y}_m(x)=y_1(x)$.

Problème

1. Résoudre l'équation différentielle :

   $y^{″}+4y=0$.

2. Déterminer la solution particulière $f$ de la variable t vérifiant les conditions $f(0)=1$ et $f\left(\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{3}$.
3. Déterminer les réels $K>0$, $\omega >0$ et $\varphi \in ]-\pi ,\pi ]$ tels que f(t) s'écrive :

   $f(t)=K\cos (\omega t-\varphi )$.

4. Résoudre, dans $ℝ$, l'équation $f(t)=-\sqrt{2}$.

Problème avec conditions au bord

Soit $\lambda \in ℝ$. Résoudre le problème :

$u^{″}+\lambda u=0,u(0)=0,u(\pi )=0$.

Avec des exponentielles

Résoudre :

1. $y^{″}-3y^{\prime }+2y={\mathrm{e}}^{-t}$ ;
2. $y^{″}+3y^{\prime }-4y={\mathrm{e}}^{2x}$ ;
3. $y^{″}+2y^{\prime }+y=2{\mathrm{e}}^{-x}$ ;
4. $y^{″}-y^{\prime }+y=2x^2{\mathrm{e}}^{-x}$.

Avec des sinus et cosinus

Intégrer l'équation $y^{″}+4y=\sin t$. Modèle:Solution Résoudre l'équation différentielle $y^{″}+2m{y}^{\prime }+y=\sin x$ dépendant du paramètre réel $m>0$, avec les conditions initiales $y(0)=y^{\prime }(0)=0$. Modèle:Solution Soit $m\in ℝ$. Déterminer la solution $y$ de l'équation différentielle

$(E_m):y^{″}-2y^{\prime }+(1+m^2)y=(1+4m^2)\cos (mx)$ vérifiant $y(0)=1$ et $y^{\prime }(0)=0$.

(Indication : on étudiera séparément les cas $m=0$ et $m\ne 0$.) Modèle:Solution

Exercices plus complexes

Système différentiel

Résoudre les deux systèmes différentiels :

1. $x^{\prime }=y,y^{\prime }=x$ ;
2. $x^{\prime }=y,y^{\prime }=-x$

avec conditions initiales ${(x,y)}_{|t=0}=(x_0,y_0)\in {ℝ}^2$.

Pour le second, si $x_0=0$ et $y_0=1$, quelle est la trajectoire du point $(x(t),y(t))$ ? Modèle:Solution Résoudre le système différentiel suivant :

$x^{\prime }=x+y,y^{\prime }=3x-y$ et $x(0)=2,y(0)=-2$.

(Indication : on se ramènera à une équation du second ordre en $x$.) Modèle:Solution

Exercice atypique

Résoudre l'équation $(E):f^{\prime }(x)=1+f(-x)$ avec cet indice : Dériver. Modèle:Solution Résoudre de même : $f^{\prime }(x)=f(\pi -x)$. Modèle:Solution Déterminer toutes les applications dérivables $f:ℝ\to ℝ$ telles que $f^{\prime }(x)+f(-x)=x{\mathrm{e}}^x$. Modèle:Solution Trouver l'ensemble des fonctions $f$ continues sur $ℝ$ qui vérifient

$f(x)-\underset{0}{\overset{x}{\int }}(x-t)f(t)\mathrm{d}t=x^2$.