Équation différentielle/Exercices/Équation différentielle du premier ordre

Cette page ne traite que des équations différentielles du premier ordre non linéaires.

Pour les équations différentielles du premier ordre linéaires, voir ce cours et ces exercices.

Équation de Riccati

Modèle:Wikipédia Résoudre $(E_1):y^{\prime }=1+x^2-2xy+y^2$. Modèle:Clr Modèle:Solution On se propose d'intégrer, sur l'intervalle le plus grand possible contenu dans $]0,+\mathrm{\infty }[$, l'équation différentielle $(E):y^{\prime }-\frac{y}{x}-y^2=-9x^2$.

1. Déterminer un réel $a\ge 0$ tel que $y_0(x)=a$x soit une solution particulière de $(E)$.
2. Montrer que le changement de fonction inconnue $y(x)=y_0(x)-\frac{1}{z(x)}$ transforme $(E)$ en l'équation différentielle linéaire $(L):z^{\prime }+(6x+\frac{1}{x})z=1$.
3. Trouver toutes les solutions de $(L)$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.
4. Donner toutes les solutions de $(E)$ définies sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

Équation de Bernoulli

Modèle:Wikipédia Soient $a,b:I\to ℝ$ deux fonctions continues, et $y:I\to ]0,+\mathrm{\infty }[$ une solution de

$y^{\prime }+ay=b{y}^m$.

1.  Si $m\ne 1$, déterminer $y$ par un changement convenable de fonction inconnue. Modèle:Solution

2.  Que se passe-t-il si $m=1$ ? Modèle:Solution

3.  Résoudre $x{y}^{\prime }-y=y^3$. Modèle:Solution

4  Résoudre $x^3{y}^{\prime }+y^4=x^{2}y$. Modèle:Solution

5.

1. Résoudre $r^{\prime }(t)=r(t)(1-r^2(t))$.
2. Étudier le comportement (intervalle de définition, monotonie, limites) des solutions définies en $0$ et telles que $0<r(0)<1$.
3. Soient $r_0\in ]0,1[$, ${\theta }_0\in ℝ$, $x_0=r_0\cos {\theta }_0$ et $y_0=r_0\sin {\theta }_0$. Résoudre le système
   $x^{\prime }=-y+x(1-x^2-y^2),y^{\prime }=x+y(1-x^2-y^2),x(0)=x_0,y(0)=y_0$.

Modèle:Solution 6  Résoudre $y^{\prime }+y+y^p=0,y(0)=1$ où $p$ est un entier $>1$. Modèle:Solution 7.  Résoudre $(1-t^3)y^{\prime }+t^{2}y+y^2=2t,y(0)=1$ (poser $y(t)=t^2+u(t)$). Modèle:Solution

Méthode des variables séparables

Modèle:Wikipédia 1. ${(1+x^2)}^2{y}^{\prime }+2x+2x{y}^2=0$. Modèle:Clr Modèle:Solution 2. $y^{\prime }+y^2=1$, $y(0)=\lambda$. Modèle:Solution

3. $y^{\prime }={\mathrm{e}}^{x+y}$ Modèle:Solution

4. $xy{y}^{\prime }+x^2=1$. Modèle:Solution

5. $y=x^{2}y{\text{'}}^2$ Modèle:Solution

Problème d'origine géométrique

On se place dans le plan muni d'un repère orthonormé. Déterminer l'ensemble des courbes $y=f(x)$ telles que si $M$ est un point de la courbe et $N$ désigne l'intersection de la normale en $M$ à la courbe et de l'axe $(Ox)$, le milieu de $[MN]$ est sur la parabole d'équation $y^2=x$. Modèle:Solution

Changements de fonction et de variable

Résoudre sur $ℝ$ : $y{y}^{\prime }+y^2=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-2x}$ (on pourra poser $z=y^2$). Modèle:Solution

On cherche à résoudre une équation différentielle de la forme $y^{\prime }=f\left(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_1}{a_{2}x+b_{2}y+c_2}\right)$, avec $a_1{b}_2-a_2{b}_1\ne 0$.

1. Soit $(\alpha ,\beta )$ la solution de $a_1\alpha +b_1\beta +c_1=0,a_2\alpha +b_2\beta +c_2=0$. En prenant le changement de variable $u:=x-\alpha$ et le changement de fonction $v:=y-\beta$, que devient l'équation ?
2. En prenant comme nouvelle fonction $z:=v/u$, montrer que l'équation peut se mettre sous la forme $z^{\prime }/g(z)=1/u$, pour une fonction $g$ (déduite de $f$) à déterminer.
3. En déduire l'expression de $u$ en fonction de $z$.
4. Application : résoudre $y^{\prime }=\frac{-x+2y-5}{2x-y+4}$.