Échantillonnage et estimation pour le bio-médical/Tests de conformité

Modèle:Chapitre Les tests de conformité permettent de s'assurer :

• qu'un échantillon a bien été extrait d'une population donnée ;
• qu'un phénomène est conforme aux prévisions d'une loi théorique ;
• que les performances de nouveaux produits sont meilleures que celle d'un ancien produit déjà connu.

Comparaison de la moyenne d'un échantillon à la moyenne de la population

Soit $X$ une variable aléatoire telle que :

$E(X)=\mu V(X)={\sigma }^2\sigma (X)=\sigma$.

On considère un échantillon dont la moyenne et $\overline{x}$ et l'écart-type est $s_e$. Le problème que l'on se propose de résoudre est le suivant :

L'échantillon a-t-il été extrait d'une population régie par la variable aléatoire $X$ ?

Soit $s$ l'écart-type estimé à partir de $s_e$.

Mise en place du test.

Soit $H_0$, l'hypothèse : L'échantillon a été extrait d'une population régie par la variable aléatoire $X$.

Soit $H_1$, l'hypothèse : L'échantillon n'a pas été extrait d'une population régie par la variable aléatoire $X$.

Si $H_0$ est vraie et si $n⩾30$, on sait d'après a théorie de l'échantillonnage que $\overline{X}$ (variable aléatoire qui prend pour valeur les moyennes des échantillons extrait de la population) suit sensiblement une loi normale de moyenne $\mu$ et écart-type $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$.

on en déduit que $\frac{\overline{X}-\mu }{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}$ suit sensiblement une loi normale centrée réduite.

Puisqu'il s'agit de comparer $X$ à $\mu$, cela suppose $\mu$ connue. Par contre, il se peut que $\sigma$ ne soit pas connu. On le remplace alors par son estimation $s$ et l'on obtient que :

si $n⩾30,\frac{\overline{X}-\mu }{\frac{s}{\sqrt{n}}}$ suit sensiblement une loi normale centrée réduite.

Pour faire le test, on procède donc ainsi :

On calcule $\overline{x}$ et $s_e$. on en déduit $s$ grâce à :

$s=s_e\sqrt{\frac{n}{n-1}}$

et l'on calcule la valeur $u$ définie par :

$u=\frac{\overline{x}-\mu }{\frac{s}{\sqrt{n}}}$.

Si $u\in [-t_{\alpha };t_{\alpha }]$, on accepte l'hypothèse $H_0$.

Si $u\in ̸[-t_{\alpha };t_{\alpha }]$, on rejette l'hypothèse $H_0$.

On rappelle que :

$t_{\alpha }=1,96$ pour $\alpha =0,05$.

$t_{\alpha }=2,576$ pour $\alpha =0,01$.

$\alpha$ est le risque de première espèce.

Si $n<30$ et si $X$ suit une loi normale.

$\frac{\overline{X}-\mu }{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}$ suit une loi normale centrée réduite.

$\frac{\overline{X}-\mu }{\frac{s}{\sqrt{n}}}$ suis une loi de Student à $n$ degrés de liberté.

Si $n<30$ et si $X$ ne suit pas une loi normale, on ne peut rien dire.

Modèle:Encart

Comparaison de la fréquence sur un échantillon à la fréquence sur la population

Soit $p$ la fréquence d'un caractère sur une population.

Soit $f$ la fréquence observée d'un caractère sur un échantillon de $n$ individus.

Le problème que l'on se propose de résoudre est :

L'échantillon a-t-il été extrait d'une population sur laquelle la fréquence des caractères est $p$ ?

Mise en place du test :

Soit $H_0$, l'hypothèse : L'échantillon a été extrait d'une population sur laquelle la fréquence du caractère est $p$.

Soit $H_1$, l'hypothèse : L'échantillon n'a pas été extrait d'une population sur laquelle la fréquence du caractère est $p$.

Si $H_0$ est vraie et si $n⩾30$, on sait d'après a théorie de l'échantillonnage que $F$ (variable aléatoire qui prend pour valeur les fréquences observée sur les échantillons extrait de la population) suit une loi normale de moyenne $p$ et écart-type $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$.

Par conséquent, on peut en déduire que :

$\frac{F-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}$ suit sensiblement une loi normale centrée réduite.

Puisqu'il s'agit de comparer $f$ à $p$, cela suppose $p$ connu.

Pour faire le test, on procédera donc ainsi :

On calcule la valeur $u$ définie par :

$u=\frac{f-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}$

Si $u\in [-t_{\alpha };t_{\alpha }]$, on accepte l'hypothèse $H_0$.

Si $u\in ̸[-t_{\alpha };t_{\alpha }]$, on rejette l'hypothèse $H_0$.

On rappelle que :

$t_{\alpha }=1,96$ pour $\alpha =0,05$.

$t_{\alpha }=2,576$ pour $\alpha =0,01$.

$\alpha$ est le risque de première espèce.

Modèle:Encart

Test du Khi-deux

Modèle:Wikipédia Le test du Khi-deux est un test de conformité qui permet de s'assurer qu'un ensemble d'effectifs observés est conforme à un ensemble d'effectifs théoriques. La loi du Khi-deux est une variable aléatoire continue qui dépend d'un paramètre appelé degré de liberté.

Soit $O_1,O_2,\cdots ,O_k$, les effectifs observés sur un échantillon et soit $C_1,C_2,\cdots ,C_k$, les effectifs que l'on devrait théoriquement avoir sur cet échantillon.

Mise en place du test.

Soit $H_0$ l'hypothèse : Les effectifs observés sont conformes aux effectifs théoriques.

Soit $H_1$ l'hypothèse : Les effectifs observés ne sont pas conformes aux effectifs théoriques.

Si $H_0$ est vraie, la variable aléatoire ${\chi }^2$ qui prend pour valeur :

${\chi }^2=\frac{(O_1-C_1{)}^2}{C_1}+\frac{(O_2-C_2{)}^2}{C_2}+\cdots +\frac{(O_k-C_k{)}^2}{C_k}$

suit une loi du Khi-deux à $k-1$ degrés de liberté.

Pour faire le test, on procède donc ainsi :

On calcule les effectifs que l'on devrait théoriquement observer sur notre échantillon. C'est-à-dire $C_1,C_2,\cdots ,C_k$. On calcule :

${\chi }^2=\frac{(O_1-C_1{)}^2}{C_1}+\frac{(O_2-C_2{)}^2}{C_2}+\cdots +\frac{(O_k-C_k{)}^2}{C_k}$

et l'on regarde si le nombre obtenu dépasse ou non le nombre donné dans la table du Khi-deux à la colonne indiquant le risque de première espèce $\alpha$ et à la ligne indiquant le degré de liberté $\nu =k-1$. Si le nombre obtenu ${\chi }^2$ est inférieur au nombre donné dans le tableau, on accepte l'hypothèse $H_0$. Si le nombre ${\chi }^2$ est supérieur nombre donné dans le tableau, on rejette l'hypothèse $H_0$.