Mathématiques en MP/Exercices/Feuille d'exercices 1

Voici une série d'exercices de mathématiques non directifs (une unique question) de niveau Mathématiques Spéciales (ou Supérieures pour quelques uns).

Exercice 1-1

Soit $E$ un ensemble de $13$ réels. Démontrer qu'il existe $x,y\in E$ tels que

$0<\frac{x-y}{1+xy}\le 2-\sqrt{3}$.

Exercice 1-2

Calculer $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-t}\ln t\mathrm{d}t$. Modèle:Solution

Exercice 1-3

Quelle est la nature de la série de terme général $\sin \left(\pi {(3+\sqrt{5})}^n\right)$ ? Modèle:Solution

Exercice 1-4

Soit $f:[0,1]\to [0,1]$ croissante. Montrer que $f$ admet un point fixe. Modèle:Solution

Exercice 1-5

Soit $F(x)=\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\ln (x^2-2x\cos \theta +1)\mathrm{d}\theta$. Montrer que $F$ est définie sur $ℝ$ puis calculer $F(x)$. Modèle:Solution

Exercice 1-6

Résoudre l'équation différentielle $y^{″}+y=\cot x$ sur $]0,\pi [$. Modèle:Solution

Exercice 1-7

Résoudre $y^{(4)}-y=0$ avec les conditions initiales $y(0)=1,y^{\prime }(0)=y^{″}(0)=y^{‴}(0)=0$. Modèle:Solution

Exercice 1-8

On pose

$\mathrm{\forall }x\in ℝ\setminus \mathbb{Z}f(t)=\frac{1}{1+t^2}{\sin }^2\left(\frac{1}{t-\mathrm{E}(t)}\right)$

où $\mathrm{E}$ désigne la fonction partie entière, puis

$F(x):=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t$.

Démontrer que $F$ est dérivable sur $ℝ$ et que l'ensemble des points de discontinuité de $F^{\prime }$ est $\mathbb{Z}$.

Indication (cf. Intégration de Riemann/Devoir/Intégrale de Dirichlet, 4Modèle:Exp partie) :

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{h}\underset{0}{\overset{h}{\int }}{\sin }^2\frac{1}{s}\mathrm{d}s=\frac{1}{2}$.