Introduction aux mathématiques/Entiers naturels

Modèle:Chapitre L'essentiel de ce chapitre est détaillé dans les leçons « Axiomes de Peano » et « Arithmétique ».

Suite définie par une relation de récurrence

Grâce à l'axiome 5, on démontre : Modèle:Théorème

Addition et multiplication dans $\mathbb{N}$

On note $1=S(0)$, puis $2,3,4,5,6,7,8,9$ les neufs premiers itérés de $0$. Pour ne pas à avoir recours à une infinité de symboles, on a trouvé un moyen plus malin, que vous connaissez depuis l'école élémentaire. On a bien sûr reconnu en $\mathbb{N}$ notre ensemble usuel pour compter ; ceci fera l’objet du prochain chapitre, mais avant cela il nous faut donner un sens à l’addition et à la multiplication.

Le théorème ci-dessus permet de définir l'addition et la multiplication dans $\mathbb{N}$ par :

$\{\begin{array}{cc}& m+0=m\\ \mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}& m+S(n)=S(m+n),\end{array}\{\begin{array}{cc}& m\times 0=0\\ \mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}& m\times S(n)=(m\times n)+m.\end{array}$

Remarques

• $\mathrm{\forall }m\in \mathbb{N}m+1=S(m)$.
• L'entier $m\times n$ est également noté $mn$.

Ordre sur $\mathbb{N}$

On définit ≤ à partir de l'addition :

$\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{N}(a\le b\iff \mathrm{\exists }c\in \mathbb{N}b=a+c)$

(l'entier $c$ est alors unique et noté $b-a$).

Alors :

• ≤ est une relation d'ordre sur $\mathbb{N}$ ;
• toute partie non vide de $\mathbb{N}$ admet un plus petit élément (en particulier, l'ordre est total) ;
• $\mathbb{N}$ lui-même a 0 pour plus petit élément ;
• le successeur d'un entier est son plus petit majorant strict.

De plus (exercice), ≤ est compatible avec l'addition et la multiplication, au sens où

$\begin{array}{cc}\mathrm{\forall }a,b,c\in \mathbb{N}& a\le b\iff a+c\le b+c\\ & a\le b\Rightarrow ac\le bc.\end{array}$

Division euclidienne

On note ${\mathbb{N}}^{*}:=\mathbb{N}\setminus \{0\}$.

Remarque

On a alors : $a<b(q+1)$. En particulier, $\mathrm{\forall }(a,b)\in \mathbb{N}\times {\mathbb{N}}^{*}\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N}nb\ge a$. On résume ce fait en disant que l'ordre sur $\mathbb{N}$ est archimédien.

Récurrences

On déduit immédiatement du cinquième axiome de Peano Modèle:Supra, et de l'expression de $S(n)$ sous la forme $n+1$ : Modèle:Théorème

En appliquant ce théorème à $𝒫(n):=𝒬(n+n_0)$, on obtient :

En appliquant le théorème à $𝒫(n):=[\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}(k\le n\Rightarrow ℛ(k))]$, que l'on écrit moins formellement $ℛ(0)\text{ et }ℛ(1)\text{ et }\dots \text{ et }ℛ(n)$, on obtient un autre corollaire :

Par contraposition, on déduit du corollaire précédent ou, directement, du cinquième axiome de Peano : Modèle:Corollaire