Introduction aux mathématiques/Notion d'ensemble

Définitions

Ensemble, élément

C'est une notion à la fois difficile à définir très proprement et à la fois très intuitive : on se contentera de l'intuition. Un ensemble est donc une « collection » d'objets qu'on appelle ses éléments. On note $x\in E$ pour signifier que l'élément $x$ appartient à l’ensemble $E$, et $x\notin E$ pour dire le contraire.

Partie

Soient $E$ et $F$ deux ensembles. On dit que $E$ est inclus dans (ou est une partie de, ou encore est un sous-ensemble de) $F$, et on note $E\subset F$, si et seulement si $\mathrm{\forall }x(x\in E\Rightarrow x\in F)$.

On note $𝒫(F)$ l’ensemble des parties de $F$. Ainsi $E\subset F\iff E\in 𝒫(F)$.

Deux ensembles $E$ et $F$ sont égaux et on écrit $E=F$ si et seulement si $E\subset F$ et $F\subset E$, c'est-à-dire s’ils ont exactement les mêmes éléments.

Enfin, on note $E⊊F$ pour signifier $E\subset F$ et $E\ne F$.

Prédicat

Soit $E$ un ensemble. On appelle prédicat sur $E$ la donnée, pour chaque élément $x$ de $E$, d'une assertion $P(x)$.

Exemple :

• Pour tout $x$ réel, on définit $P(x)$ par : $x\ge 1$. C'est un prédicat sur $ℝ$, vrai pour 2 et faux pour 0.

Définition d'un ensemble en compréhension

On a le droit de définir l’ensemble des éléments d'un ensemble $E$ vérifiant un prédicat $P$, on le note $\{x\in E/P(x)\}$. On parle de définition en compréhension. Il est crucial de préciser l’ensemble d'origine des éléments $x$. Sinon on pourrait considérer l’ensemble $E:=\{x/x\notin x\}$ : a-t-on $E\in E$ ?

Ensemble vide

Il existe un ensemble qui ne contient aucun élément : en effet on considère un ensemble $E$ quelconque et l’ensemble $\mathrm{\varnothing }:=\{x\in E/x\ne x\}$. De plus $\mathrm{\varnothing }$ appartient à tous les ensembles. Un tel autre ensemble $E$ vérifierait alors $\mathrm{\varnothing }\subset E$ et $E\subset \mathrm{\varnothing }$, d'où l'égalité. On parle alors de l'ensemble vide.

Remarque : On a $𝒫(\mathrm{\varnothing })=\{\mathrm{\varnothing }\}$ qui est donc non vide.

Définition d'un ensemble en extension

Un ensemble peut être défini en extension, c'est-à-dire en donnant la liste de ses éléments entre accolades. Par exemple $\{a,b,c\}$ représente l’ensemble dont les éléments sont $a$, $b$ et $c$.

Paire

Étant donnés deux objets $x$ et $y$, on peut définir l’ensemble les contenant exactement : il s'agit de la paire $\{x,y\}$.

Couple

Pour que l’ordre des éléments ait une importance, on définit le couple $(a,b)$ par $(a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}$. On peut vérifier la proposition suivante : Modèle:Théorème

Produit cartésien

On appelle alors produit cartésien de deux ensembles $E$ et $F$, l’ensemble des couples $(x,y),x\in E,y\in F$. On le note $E\times F$, lire « E croix F ». Ceci s'étend pour définir des triplets $(a,b,c)$; des quadruplets $(a,b,c,d)$; des $n$-uplets $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$.

Opérations sur les ensembles

Différence, complémentaire

En particulier on définit pour une partie A d'un ensemble E son complémentaire dans E, noté ${\complement }_{E}A$ ou $A^c$ s'il n’est pas nécessaire de préciser E.

Exercice : Que dire de $A\setminus \mathrm{\varnothing }$ ; $\mathrm{\varnothing }\setminus A$; $A\setminus A$, pour $A\in 𝒫(E)$ ?

Intersection, réunion

Exercice

• Que dire de $A\cup \varnothing$ ?
• Que dire de de $A\cap E$ pour $A\in 𝒫(E)$ ?
• Faire le lien entre connecteurs logiques/quantificateurs et différence/réunion/intersection. On en déduit facilement les propriétés suivantes :

Différence symétrique

Modèle:Théorème Exercice :

1. Montrer que la différence symétrique est commutative et associative.
2. Que dire de $A\mathrm{\Delta }\mathrm{\varnothing }$; de $A\mathrm{\Delta }A$ ?
3. Montrer que $\cap$ est distributive sur $\mathrm{\Delta }$.

Quantificateurs

Quantificateur existentiel

• On écrit $\mathrm{\exists }x\in E/P(x)$ pour signifier qu’il existe au moins un x élément de E tel que P(x) soit vrai.
• On écrit $\mathrm{\exists }!x\in E/P(x)$ pour signifier qu’il existe un unique x élément de E tel que P(x) soit vrai.

Quantificateur universel

• On écrit $\mathrm{\forall }x\in E,P(x)$ pour signifier que pour tous les éléments x de E, P(x) est vrai.

Négations des quantifications

On a :

• $\text{non}(\mathrm{\exists }x\in E/P(x))\iff (\mathrm{\forall }x\in E,\text{non}P(x))$
• $\text{non}(\mathrm{\forall }x\in E,P(x))\iff (\mathrm{\exists }x\in E/\text{non}P(x))$

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