Fonction exponentielle/L'exponentielle comme fonction réciproque du logarithme népérien

Ce chapitre présente une définition alternative de la fonction exponentielle, à partir du logarithme népérien, lui-même défini comme la primitive de la fonction $x\mapsto 1/x$, qui s'annule au point $1$. Nous admettrons que ces deux définitions sont équivalentes. La démonstration nécessite le théorème sur la dérivée d'une bijection réciproque (niveau 14).

Exponentielle et logarithme népérien

Définition

Rappel : Tableau de variations de la fonction logarithme népérien ($\ln$)

$\begin{array}{cccc}y& 0& & +\mathrm{\infty }\\ & & & +\mathrm{\infty }\\ \text{Variations de }\ln (y)& & \nearrow & \\ & -\mathrm{\infty }& & \end{array}$

Modèle:Définition

Application

L'exponentielle permet de résoudre des équations quand l'inconnue est dans un logarithme.

• Résoudre de manière approchée l’équation $\ln (x)=5,2$

• Résoudre de manière approchée l’équation $\exp (x)=5,2$

• Déterminer une valeur approchée de $\exp \left(\frac{1}{2}\right)$ sans utiliser la touche «e^x» de la calculatrice.

Modèle:Bas de page