Calcul avec les nombres complexes/Équations

Les équations dans l’ensemble des complexes se résolvent de la même façon que celles dans l’ensemble des réels. Il ne faut pas oublier que les nombres réels sont des nombres complexes particuliers, il faut donc les donner si nécessaire. Il est parfois nécessaire de poser $z=x+iy$ mais à d’autres moments, laisser z facilite les calculs.

Pour comprendre comment résoudre ces équations, nous allons utiliser des exemples.

Équations du premier degré

Équations du premier degré avec uniquement $z$

Dans ce genre d'équation, il n’est pas utile de poser $z=x+iy$. Modèle:Exemple

Équations du premier degré avec $z$ et $\overline{z}$

À l'inverse, il est nécessaire ici de poser $z=x+iy$ et $\overline{z}=x-iy$, et il faut appliquer la définition de l'égalité de deux nombres complexes. Modèle:Exemple

Équations du second degré

Équations en $\alpha z^2+\beta z+\gamma =0$

Nous pouvons résoudre des équations simples où $(\alpha ,\beta ,\gamma )\in {ℝ}^3$. Il suffit dans ce cas de calculer le déterminant complexe.Modèle:Exemple

Nous pouvons aussi résoudre des équations où $(\alpha ,\beta ,\gamma )\in {ℂ}^3$. Seulement, nous avons généralement des informations en plus dans l'énoncé. Soit il faut trouver une solution imaginaire pure ou bien une solution réelle. Dans ce cas là, il faut remplacer $z$.Modèle:Exemple

Équations particulières du troisième degré

Comme pour les équations réelles du troisième degré, nous ne savons pas résoudre ce type d'équation, pour trouver les solutions, nous devons trouver une solution évidente ou nous devons être guidés. Les solutions évidentes sont toujours très simples, c'est-à-dire $S=-2,-1,0,1,2$. Si la solution n’est pas assez simple, l'exercice demande de vérifier une solution. Modèle:Exemple

Modèle:Bas de page