Espace préhilbertien réel/Exercices/Polynômes de Laguerre

Exercice 3-1

On travaille dans $E=ℝ[X]$ muni du produit scalaire $⟨f,g⟩=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)g(x){\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x$.

On définit, pour tout $n\in \mathbb{N}$, le n-ième polynôme de Laguerre $L_n$ par :

$\mathrm{\forall }x\in ℝL_n(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x}{n!}\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}({\mathrm{e}}^{-x}{x}^n)$.

1. Vérifier que $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ est bien un produit scalaire sur E.
2. Calculer L₀, L₁, L₂ et L₃.
3. Montrer que $(L_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une famille orthonormale de $ℝ[X]$
4. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$, L_n vérifie l'équation différentielle $(E_1):x{L_n}^{″}(x)+(1-x){L_n}^{\prime }(x)+n{L}_n(x)=0$.
5. Montrer que L vérifie l'équation $(E_2):\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }x\in ℝ(n+1)L_{n+1}(x)+(x-2n-1)L_n(x)+n{L}_{n-1}(x)=0$.

Exercice 3-2

On considère l'espace de Hilbert $H={\mathrm{L}}^2({ℝ}_{+},\mu )$ où

$\mathrm{d}\mu (x)={\mathrm{e}}^{-x}{1}_{{ℝ}_{+}}\mathrm{d}\lambda (x)$,

$\lambda$ étant la mesure de Lebesgue sur $ℝ$.

On définit pour tout $n\in \mathbb{N}$ et $x\in {ℝ}_{+}$,

$L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}(x^n{\mathrm{e}}^{-x})$.

1. Montrer que $L_n$ est un polynôme de degré $L_n$ et donner son coefficient dominant.
2. 1. Calculer le produit scalaire $⟨X^k,L_n⟩$ pour tout $0\le k\le n$.
   2. En déduire que $(L_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une famille orthonormale de $H$.
3. Montrer que pour tout $\alpha \in {ℝ}_{+}$, $\sum _{n\ge 0}{(\underset{{ℝ}_{+}}{\int }{\mathrm{e}}^{-\alpha x}{L}_n(x){\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x)}^2=\frac{1}{2\alpha +1}$.
4. En déduire que $f_{\alpha }:x\mapsto {\mathrm{e}}^{-\alpha x}$ appartient à l'adhérence de $\mathrm{Vect}((L_n{)}_{n\in \mathbb{N}})$ dans $H$.
5. Soit $f\in C_0({ℝ}_{+})$ l'espace des fonctions nulles à l'infini. En appliquant le théorème de Stone-Weierstrass à la fonction $g:[0,1]\to ℝ$ définie par $g(x)=f(-\ln x)$ si $x\ne 0$ et $g(0)=0$, montrer que la suite $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est totale dans $C_0({ℝ}_{+})$ pour la norme $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$.
6. Montrer que $(L_n{)}_{n\ge 0}$ est une base hilbertienne de $H$.