Équation différentielle/Équation différentielle linéaire du premier ordre

Équations différentielles linéaires du premier ordre

Définition générale d'une équation différentielle linéaire du premier ordre

L'expression générale d'un équation différentielle linéaire du premier ordre est la suivante :

$a\left(x\right)f^{\prime }\left(x\right)+b\left(x\right)f\left(x\right)=c\left(x\right)$

Avec :

- $f(x)$ : fonction à déterminer

- $f^{\prime }(x)$ : dérivée première de la fonction $f$

- $a(x),b(x),c(x)$ des fonctions réelles telles que $a(x)\ne 0$

Espaces vectoriels

La linéarité d'une équation différentielle a des conséquences importantes facilitant la recherche de solutions.

• Les solutions d'une équation différentielle linéaire homogène forment un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des fonctions. Dans le cas d'une équation d'ordre 1, ce sous-espace est de dimension 1.
• Les solutions d'une équation différentielle linéaire forment un sous-espace affine de l'espace affine des fonctions. Sa direction est le sous-espace vectoriel des solutions de l'équation homogène associée.

Ces considérations géométriques donnent le théorème suivant, très important dans la résolution en pratique.

La condition initiale

• L'ensemble des solutions d'une E.D.L. du premier ordre étant un espace vectoriel de dimension 1,

  le fait de fixer une seule valeur de la fonction-solution suffit à la définir parfaitement.

• Le sens physique de cette remarque est très intuitif :
  • un système physique régi par une équation différentielle du premier ordre voit son état déterminé par un seul nombre $f(x)$ qui dépend de la variable $x$ (en général le temps) ;
  • la connaissance de cet état à un instant donné détermine l'état du système à tout instant. C'est ce qu'on appelle la condition initiale.

Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants

L'expression générale d'un équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants est la suivante :

$a{f}^{\prime }\left(x\right)+bf\left(x\right)=c\left(x\right)$

Avec :

- $f(x)$ : fonction à déterminer

- $f^{\prime }(x)$ : dérivée première de la fonction $f$

- $a,b$ sont des nombres réels tels que $a\ne 0$ et $c$ peut être soit un nombre, soit une fonction.

Le théorème suivant est une reformulation du résultat principal du chapitre précédent. Modèle:Théorème (C'est en particulier le cas si l'équation est homogène : $c=0$).

Remarque

Il est intéressant de remarquer la stabilité des systèmes décrits par de telles équations. En effet, si a et b sont des réels de même signe, il existe toujours un régime de stabilité lorsque $t\to \mathrm{\infty }$. Si a et b sont des réels de signes opposés, le système est instable et la solution tend exponentiellement vers $\pm \mathrm{\infty }$.

Cas général : équations linéaires à coefficients et second membre variables

On suppose que les fonctions $a,b,c$ sont continues.

Remarques

• On retrouve le cas des coefficients constants avec ce formalisme.
• La solution générale, très difficile à lire, se révèle parfois également difficile à utiliser. En effet, il n’est pas toujours aisé d'intégrer les rapports obtenus. En revanche une intégration numérique efficace est souvent envisageable, ce qui permet des résolutions numériques fiables.