Espace euclidien/Automorphismes orthogonaux

Plan vectoriel euclidien

Soit $A\in {\mathrm{O}}_2(ℝ)$, c'est-à-dire $A\in {\mathrm{M}}_2(ℝ)$ un automorphisme orthogonal de ${ℝ}^2$. Les colonnes de $A$ forment une base orthonormée pour le produit scalaire standard donc

$A=\left(\begin{array}{cc}a& -\epsilon b\\ b& \epsilon a\end{array}\right)$ avec $a^2+b^2=1$ et $\epsilon =\det A=\pm 1$.

La condition $a^2+b^2=1$ équivaut à l'existence d'un réel $\theta$ tel que $a=\cos \theta$ et $b=\sin \theta$.

• Si $A\in {\mathrm{S}\mathrm{O}}_2(ℝ)$ alors $A=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$, la rotation d'angle $\theta$.
• Sinon, $A=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{array}\right)$, la symétrie orthogonale d'axe dirigé par $(\cos (\theta /2),\sin (\theta /2))$.