Espace préhilbertien réel/Produit scalaire

Produit scalaire

Définitions

On suppose désormais qu'E est un espace préhilbertien réel, c'est-à-dire on suppose avoir muni E d'un produit scalaire.

Rappel

(Cf. chapitre précédent.)

Norme, distance

Définitions

On pourra utiliser des notions de topologie pour montrer qu'on obtient bien une norme. La norme préhilbertienne est alors appelée « norme 2 », et est notée $||\cdot |{|}_2$. Le but de ce chapitre n'étant pas de faire de la topologie, on s'en tiendra à la notation simple.

→ Voir le cours sur les espaces vectoriels normés pour plus de détails sur les normes.

Propriétés

L'identité du parallélogramme est importante car on peut montrer qu'une norme est préhilbertienne si et seulement si elle vérifie l'identité du parallélogramme. C'est le théorème de Fréchet-von Neumann-Jordan, dont la démonstration est traitée en exercice : Modèle:CfExo

Exemples fondamentaux

Outre l'exemple du produit scalaire canonique sur ${ℝ}^n$, décrit dans la leçon sur les espaces euclidiens qui figure en prérequis, on peut mentionner celui sur ${\mathrm{M}}_{m,n}(ℝ)$ qui n'en est qu'un cas particulier déguisé (cf. Trace et transposée de matrice/Espace euclidien sur un ensemble de matrices), mais aussi des exemples sur des espaces de dimension infinie :

Modèle:Exemple