Application (mathématiques)/Définitions

Dans ce chapitre, nous allons commencer par introduire la notion d'application comme une notion primitive, ensuite nous définirons une application comme une relation. Nous nous intéresserons à des types d'application, à des applications particulières et donnerons leurs propriétés.

Applications

Définition intuitive d’une application

La partie $G=\{(x,y)\in E\times F\mid y=f(x)\}$ formée des couples de E × F de la forme (x, f(x)) où x parcourt l’ensemble E s’appelle le graphe de f.

Une représentation graphique de f est une représentation du graphe de f.

L'ensemble des applications de E dans F se note habituellement $F^E$ ou $ℱ(E,F)$ ; l’ensemble $ℱ(E,E)$ des applications de E dans E se note plus simplement $ℱ(E)$.

Prolongements et restrictions

À partir d’une application donnée, on peut créer d’autres applications en remplaçant simplement l’ensemble de départ ou d'arrivée par un sous-ensemble ou un sur-ensemble de cet ensemble.

Prolongements d’une application

Remarque

Il existe en général plusieurs prolongements d’une même application.

Restriction de l’ensemble d'arrivée

Soient E et F deux ensembles quelconques et f une application de E dans F. Soit F' une partie de F. Il est possible de restreindre l’ensemble d'arrivée de l’application f, pour former une application g de E dans F' qui à un élément x de E associe f(x), à condition que tout élément x de E ait une image dans F' (c'est-à-dire que l’image de f soit incluse dans F').

Dans ce cas l’application g se note $f^{|F^{\prime }}$.

Extension de l’ensemble d'arrivée

Soient E et F deux ensembles quelconques et f une application de E dans F. Soit F' un ensemble contenant F. On peut toujours considérer l’application g de E dans F' qui à un élément x de E associe f(x).

Image directe, image réciproque d’une partie par une application

Soient $E$ et $F$ deux ensembles et $f:E\to F$ une application.

Propriétés immédiates

• $f(\varnothing )=\varnothing$ (il n'y a pas d'image d'élément de l’ensemble vide puisque l’ensemble vide n'a pas d'élément)
• L'image d'un singleton est un singleton : pour tout élément x de E, f({x}) = {f(x)}.

Propriétés immédiates

• $f^{-1}(\varnothing )=\varnothing$
• $f^{-1}(F)=E$, car f est une application et tous les éléments de E ont une image dans F.
• Pour tout y de F, $f^{-1}(\{y\})$ est l’ensemble de tous les antécédents de y par f.
  Si f est bijective, alors $f^{-1}(\{y\})=\{f^{-1}(y)\}$, puisque dans ce cas le seul antécédent de y est $f^{-1}(y)$.