Fonction logarithme/Croissances comparées

Comparaison de ln(x) et x au voisinage de +∞

La fonction ln est strictement croissante sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ et tend vers $+\mathrm{\infty }$ quand $x$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, mais elle croît «plus lentement » qu'une fonction linéaire.

Pour formaliser ceci, on étudie la limite $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\ln (x)}{x}$ qui est la forme indéterminée : $\frac{+\mathrm{\infty }}{+\mathrm{\infty }}$.

Comparaison de ln(x) et x au voisinage de 0⁺

Quand $x$ tend vers $0$ par valeurs supérieures (en $0^{+}$), une autre limite $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln (x)$ apparait et est aussi une forme indéterminée : $0\times (-\mathrm{\infty })$.

En effet, quand $x\to 0^{+}$, $y:=\frac{1}{x}\to +\mathrm{\infty }$ donc $x\ln (x)=-\frac{\ln (y)}{y}\to 0^{-}$.

Voir aussi

Fonction exponentielle/Croissances comparées