Fonction exponentielle/L'exponentielle comme solution d'une équation différentielle

Exponentielle et équation différentielle du premier ordre

L'existence de la fonction exponentielle, admise à ce niveau, peut être démontrée par de nombreuses méthodes, dont aucune n'est élémentaire. Un exercice de niveau 15 propose une démonstration à l'aide des suites.

L'unicité de cette fonction sera généralisée et démontrée plus bas. La preuve d'unicité montrera, de plus, que pour tout réel $x$, $\exp (x)\times \exp (-x)=1$. En particulier, $\exp (x)\ne 0$.

La fonction exponentielle est aussi utilisée dans la résolution d'équations différentielles de premier ordre.

En effet, une équation différentielle de premier ordre, à coefficients et second membre variables, est exprimée comme suit: $a(x).y^{\prime }+b(x).y=c(x)$ (1)

• $a(x),b(x),c(x)$: Fonctions connues et dépendantes de la variable $x$.
• $y$: Fonction à déterminer et dépendante de la variable $x$.
• $y^{\prime }$: Dérivée première de la fonction $y$ et dépendante de la variable $x$.

La solution complète de l'équation différentielle (1) s'écrit sous la forme générale suivante: $y=y_H(x)+y_p(x)=K.e^{-F(x)}+g(x).e^{-F(x)}$

• $y_H(x)=K.e^{-F(x)}$: Solution générale de l'équation différentielle (1).
  • $K=e^C$: Constante réelle.
  • $F(x)$: Primitive de la fonction $f(x)=\frac{b(x)}{a(x)}$
• $y_p(x)=g(x).e^{-F(x)}$ : Solution particulière de l'équation différentielle (1).
  • $g(x)=\int \frac{c(x)}{a(x)}.e^{F(x)}dx$

Calculatrice

Pour prendre l'exponentielle d'un nombre, on utilise la touche «$e^x$».

On effectue souvent cette opération en utilisant le préfixe «seconde» ou «shift» suivi de la touche $\ln$.

Exemples

<quiz display=simple> {A la calculatrice, donner des valeurs approchées à $10^{-2}$ : |type="{}"} || $\exp (7)$ = { 1096.63 _7 } || $\exp (-3)$ = { 0.05 _4 } || $\exp (\pi +1)$ = { 62.90 _5 } </quiz>