Fonctions d'une variable complexe/Exercices/Fonctions zêta

Exercice 1-1

Soit $q$ un nombre complexe de partie réelle $>0$.

On rappelle (Sommation/Exercices/Séries de Fourier et fonction zêta#Exercice 9-7 et Mathématiques en MP/Exercices/Intégrales dépendant d'un paramètre#Exercice 2-5) que :

• la fonction zêta de Hurwitz $\zeta (\cdot ,q)$, définie pour tout complexe $s$ de partie réelle $>1$ par $\zeta (s,q)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(k+q{)}^{-s}$, vérifie :

  $\zeta (s,q)\mathrm{\Gamma }(s)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^{s-1}{\mathrm{e}}^{-tq}}{1-{\mathrm{e}}^{-t}}\mathrm{d}t$

  où $\mathrm{\Gamma }$ est la fonction Gamma d'Euler ;

• la fonction $\frac{1}{\mathrm{\Gamma }}$ s'étend en une [[../../Développement en séries entières#Théorème de Taylor|fonction entière]].

En déduire que la fonction $s\mapsto \zeta (s,q)-\frac{1}{s-1}$ s'étend en une fonction entière.

Indication : utiliser l'existence d'un développement de Taylor à tout ordre en 0 de $t\mapsto \frac{t}{1-{\mathrm{e}}^{-t}}$. Modèle:Solution