Conduction thermique/Conduction stationnaire

Modèle:Chapitre Un régime stationnaire signifie que les grandeurs macroscopiques ne varient plus dans le temps, on a donc $\frac{\partial T}{\partial t}=0$.

Ainsi l'équation de la chaleur se réécrit

$0=\frac{\lambda }{c_v\rho }{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^{2}T+\frac{p}{c_v\rho }$ou encore $0=\lambda {\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^{2}T+p$ou $0={\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^{2}T+\frac{p}{\lambda }$

Cas unidimensionnel

L'équation se simplifie en :

$0=\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}+\frac{p}{\lambda }$

On peut alors la résoudre, assez facilement dans un grand nombre de cas, en intégrant 2 fois.

Par exemple si p est constant,

$T(x)=-\frac{p}{2\lambda }{x}^2+Ax+B$

où A et B sont deux constantes dépendant des températures aux bords.

Cas où les conditions aux bords ne sont pas des températures

Si par exemple on considère une fenêtre, on peut modéliser la convection thermique par la loi de Newton:

$j_{th}=h(T-T_{ext})$avec $T_{ext}$et h des constantes

Par la continuité de $j_{th}$ en $x_0$, $-\lambda \frac{\partial T}{\partial x}(x_0)=h(T(x_0)-T_{ext})$

Si on prend le cas précédent avec p nul, $T(x)=Ax+B$

Et donc $-\lambda A=h(T(x_0)-T_{ext})$

D'où $A=-\frac{h(T(x_0)-T_{ext})}{\lambda }$et B se déterminant grâce à l'autre condition au bord on prendra $B=T_0=T(0)$.

Ainsi $T(x)=-\frac{h(T(x_0)-T_{ext})}{\lambda }x+T_0$

Enfin on évalue en $x_0$, $T(x_0)=-\frac{h(T(x_0)-T_{ext})}{\lambda }{x}_0+T_0$d'où $T(x_0)(1+\frac{h}{\lambda }{x}_0)=-\frac{h}{\lambda }{T}_{ext}*x_0+T_0$

Finalement $T(x_0)=(\frac{h}{\lambda }{T}_{ext}*x_0+T_0)*\frac{1}{1+\frac{h}{\lambda }{x}_0}$

En réinjectant dans l'expression de la température, on trouve l'expression finale.