Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Formes quadratiques entières

Exercice 5-1

1. Soit $q(x,y)=a{x}^2+bxy+c{y}^2$. Montrer que $q\left({\mathbb{Z}}^2\right)\subset \mathbb{Z}$ (si et) seulement si $a,b,c\in \mathbb{Z}$.
2. Trouver un polynôme $P\in \mathbb{Q}[X]\setminus \mathbb{Z}[X]$ tel que $P(\mathbb{Z})\subset \mathbb{Z}$.
3. Trouver un polynôme $P\in \mathbb{Q}[X,Y]\setminus \mathbb{Z}[X,Y]$ homogène de degré $3$ tel que $P({\mathbb{Z}}^2)\subset \mathbb{Z}$.

Exercice 5-2

Montrer que $\mathrm{pgcd}(a,b,c)$ est le pgcd de tous les entiers représentés par $a{x}^2+bxy+c{y}^2$. Modèle:Solution

Exercice 5-3

Soient $q(x,y)=a{x}^2+bxy+c{y}^2$ et $d=b^2-4ac$.

1. Montrer que s'il existe un entier représenté par $q$ et premier avec $d$, alors $q$ est primitive.
2. Pourquoi est-ce une généralisation de la règle (évidente) « si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors $q$ est primitive » ?
3. Réciproquement, on suppose $q$ primitive. Montrer que pour tout entier $n\ne 0$, il existe un entier premier avec $n$ et représenté par $q$.

Exercice 5-4

Calculer $\tilde{h}(-31)$ et $h(-31)$. Modèle:Solution

Exercice 5-5

Modèle:Wikipédia Vous allez, dans cet exercice, démontrer qu'un entier $n>0$ est somme de deux carrés si et seulement si, dans sa décomposition en facteurs premiers, les exposants de tous les facteurs premiers congrus à $3mod4$ sont pairs.

1. Démontrer le sens direct (« seulement si ») de l'équivalence. (Indication : montrer d'abord que si un nombre premier $p\equiv 3mod4$ divise une somme de deux carrés $x^2+y^2$, alors $p$ divise $x$ et $y$.)
2. Montrer que $\tilde{h}(-4)=1$.
3. Soit $m$ un entier sans facteur carré, et sans facteur premier congru à $3mod4$. Montrer que $-4$ est un carré $mod4m$ et en déduire (grâce à la question précédente) que $m$ est une somme de deux carrés.
4. En déduire le sens réciproque (« si ») de l'équivalence.

Exercice 5-6

1. Vérifier (dans tout anneau commutatif) l'identité de Brahmagupta : $(a^2-n{b}^2)(c^2-n{d}^2)={(ac+nbd)}^2-n{(ad+bc)}^2$.
2. Montrer que pour tout discriminant $d$, l'ensemble $q_d\left({\mathbb{Z}}^2\right)$ des entiers représentés par la forme principale de discriminant $d$ contient $1$ et est stable par produit. (Dans le cas $d\equiv 1mod4$, on pourra vérifier puis utiliser que $q_d(x,y)=\frac{{(2x+y)}^2-d{y}^2}{4}$.)

Exercice 5-7

1. Montrer que $\tilde{h}(-3)=1$.
2. En déduire que tout nombre premier congru à $1mod3$ est de la forme $x^2+xy+y^2$.
3. Caractériser de même les nombres premiers de la forme $q_d(x,y)$, pour $d=-4,-7,-8,-11,-19,-43,-67,-163$.

Exercice 5-8

1. Identifier les classes pour $d=-12$.
2. En déduire que tout nombre premier congru à $1mod3$ est de la forme $x^2+3y^2$.
3. Identifier de même les classes pour $d=-28$ et les nombres premiers de la forme $x^2+7y^2$.

Exercice 5-9

1. 1. Identifier les classes pour $d=-20$.
   2. Montrer que tout nombre impair de la forme $x^2+5y^2$ est congru à $1mod4$.
   3. Montrer que tout nombre impair de la forme $2x^2+2xy+3y^2$ est congru à $3mod4$.
   4. En déduire une condition nécessaire et suffisante (en termes de congruence) pour qu'un nombre premier soit de la forme $x^2+5y^2$, et caractériser de même ceux de la forme $2x^2+2xy+3y^2$.
2. 1. Parmi les nombres premiers $p>5$, sachant (cf. [[../Résidus quadratiques#Exercice 4-17|exercice 4-17]], question 1) que ceux tels que $-40$ est un carré $mod4p$ sont les $p$ tels que [$p\equiv 1$ ou $3mod8$ et $p\equiv \pm 1mod5$], et ceux tels que [$p\equiv -1$ ou $-3mod8$ et $p\equiv \pm 2mod5$], déterminer ceux qui sont représentables par une forme quadratique (binaire, entière) de discriminant $-40$.
   2. Identifier les formes positives réduites de discriminant $-40$.
   3. En déduire une caractérisation des nombres premiers de la forme $x^2+10y^2$.

Exercice 5-10

Soit un nombre premier $p>3$. On rappelle ([[../Résidus quadratiques#Exercice 4-17|exercice 4-17]], question 2) que

$-24$ est un carré $mod4p$ si et seulement si $p$ est congru soit à $\pm 1mod8$ et à $1mod3$, soit à $\pm 3mod8$ et à $-1mod3$.

1. Montrer que les deux seules formes (quadratiques entières positives) réduites de discriminant $-24$ sont $x^2+6y^2$ et $2x^2+3y^2$.
2. En déduire que $p$ est de la forme $x^2+6y^2$ si et seulement s'il est congru à $1\text{ ou }7mod24$, et qu'il est de la forme $2x^2+3y^2$ si et seulement s'il est congru à $5\text{ ou }11mod24$.
3. Montrer que si deux entiers $N_1,N_2$ sont représentés tous deux par $x^2+6y^2$ ou tous deux par $2x^2+3y^2$ alors $N_1{N}_2$ est représenté par $x^2+6y^2$, et que si l'un est représenté par $x^2+6y^2$ et l'autre par $2x^2+3y^2$ alors $N_1{N}_2$ est représenté par $2x^2+3y^2$.

Exercice 5-11

1. Montrer que pour toute représentation propre $q(\alpha ,\gamma )=m>0$, il existe une unique équivalence propre $q(\alpha x+\beta y,\gamma x+\delta y)=m{x}^2+nxy+l{y}^2$ telle que $-m<n\le m$.
2. Déterminer les racines carrées de $-1mod65$.
3. En déduire les couples d'entiers $(n,l)$ tels que $-65<n\le 65$ et $n^2-4\times 65l=-4$.
4. En déduire que $65$ est somme de deux carrés d'exactement deux façons (à interversion près des deux carrés), que l'on précisera.

Exercice 5-12

Soit $q$ une forme quadratique entière de discriminant $d$. Montrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes :

1. $d$ est un carré parfait (éventuellement nul) ;
2. $q$ s'annule en d'autres points (de ${\mathbb{Z}}^2$) que le point $(0,0)$ ;
3. $q$ est le produit de deux formes linéaires (de ${\mathbb{Z}}^2$ dans $\mathbb{Z}$).

Exercice 5-13

1. Déterminer les formes réduites et les cycles, pour $d=20$.
2. Réduire $q_{20}$, en appliquant un algorithme standard, ou celui indiqué dans la démonstration du cours (existence d'une forme réduite proprement équivalente à une forme indéfinie anisotrope donnée).

Exercice 5-14

(Analogue à l'exercice 5-5 ci-dessus.)

1. Quels sont les nombres premiers modulo lesquels $-2$ est un carré ?
2. Soient $n=x^2+2y^2$ (avec $x,y$ entiers) et $p$, congru à $-1$ ou $-3mod8$, un diviseur premier de $n$.
   1. Déduire de la question précédente que $p$ divise $y$ (donc aussi $x$).
   2. En déduire que l'exposant de $p$ dans la décomposition de $n$ en facteurs premiers est pair.
3. Montrer que la forme principale $q_{-8}$ est la seule forme positive réduite de discriminant $-8$.
4. Soit $m$ un entier sans facteur carré, et sans diviseur premier congru à $-1$ ou $-3mod8$. Déduire de la question précédente que $m$ est de la forme $x^2+2y^2$.
5. Déduire de tout ce qui précède une condition nécessaire et suffisante pour qu'un entier $n\in {\mathbb{N}}^{*}$ soit de la forme $x^2+2y^2$.