Série numérique/Théorème de Stolz-Cesàro

Théorème

D'après le lemme de Cesàro, pour toute suite réelle $(a_n)$, si $a_n\to \ell \in \overline{ℝ}$ alors $\frac{\sum _{k=1}^n{a}_k}{n}\to \ell$.

Le premier point du théorème suivant généralise ce lemme, permettant ainsi (sous certaines hypothèses) de comparer les sommes partielles de deux séries divergentes. Le second point permet de comparer les restes de deux séries convergentes.

Remarques

• Le lemme de Cesàro est le cas $b_n=1$ du point 1.
• Si $\ell \ne \pm \mathrm{\infty }$, l'hypothèse de la convergence de $\sum a_n$ dans le point 2 est redondante : elle résulte de la convergence de $\sum b_n$.
• L'énoncé reste vrai si les $a_n$ et $\ell$ sont des nombres complexes ou, plus généralement, des éléments d'un espace vectoriel normé.