Réduction des endomorphismes/Exercices/Réductions de Dunford, Jordan et Frobenius

Exercice 3-1

Montrer qu'un endomorphisme de rang 1 est nilpotent ou diagonalisable. Modèle:Solution

Exercice 3-2

Soient $P,Q\in K[X]$ tels que $P\mid Q-1$ et $A\in {\mathrm{M}}_n(K)$ telle que $(PQ)(A)=0$. Démontrer que

$\dim \ker P(A)=\mathrm{tr}Q(A)$.

Exercice 3-3

Soit $N\in {\mathrm{M}}_n(ℝ)$ nilpotente qui commute avec sa transposée. Montrer que $N=0$. Modèle:Solution

Exercice 3-4

Montrer que deux matrices réelles semblables dans ${\mathrm{M}}_n(ℂ)$ le sont également dans ${\mathrm{M}}_n(ℝ)$. Modèle:Solution

Exercice 3-5

Soit $A\in {\mathrm{M}}_n(ℝ)$. Montrer que $A$ et $A^t$ sont semblables et que $A{A}^t$ et $A^{t}A$ sont semblables. Modèle:Solution

Exercice 3-6

Soit

$A=\left(\begin{array}{cccc}322& -323& -323& 322\\ 325& -326& -325& 326\\ -259& 261& 261& -260\\ -237& 237& 238& -237\end{array}\right)$.

Déterminer sa forme de Jordan et une matrice de passage. Modèle:Solution

Exercice 3-7

Pour la matrice

$A:=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 2\mu & -3\mu -2& \mu +3\end{array}\right)$,

déterminer une forme de Jordan et une matrice de passage.

En déduire les solutions de la récurrence linéaire

$u_{n+3}=(\mu +3)u_{n+2}-(3\mu +2)u_{n+1}+2\mu u_n$

et celles de l'Modèle:W

$x^{‴}(t)=(\mu +3)x^{″}(t)-(3\mu +2)x^{\prime }(t)+2\mu x(t)$.

Pour la matrice

$B:=\left(\begin{array}{cccc}5& 4& 2& 1\\ 0& 1& -1& -1\\ -1& -1& 3& 0\\ 1& 1& -1& 2\end{array}\right)$,

déterminer une forme de Jordan et une matrice de passage. Modèle:Solution

Exercice 3-8

Soit $N\in {\mathrm{M}}_n(ℂ)$ une matrice nilpotente. Démontrer que pour tout complexe $\lambda$ non nul, $\lambda N$ est semblable à $N$. Modèle:Solution

Exercice 3-9

Soit $A\in {\mathrm{M}}_n(ℂ)$.

1. On suppose qu'il existe un polynôme $B$ à coefficients dans ${\mathrm{M}}_n(ℂ)$ et un entier naturel $k_0$ tels que pour tout $k>k_0$, $A^k=B(k)$. Montrer qu'alors, les seules valeurs propres possibles pour $A$ sont $0$ et $1$.
2. Montrer que réciproquement, si $A$ n'a pas d'autres valeurs propres que $0$ et $1$, alors $A^k$ est polynomiale en $k$ pour $k\ge n$.
3. Soient $B_1,\dots ,B_r$ des polynômes à coefficients dans ${\mathrm{M}}_n(ℂ)$, $k_0$ un entier naturel et ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_r$ des complexes non nuls tels que pour tout $k>k_0$, $A^k=\sum _{i=1}^r{\lambda }_i^k{B}_i(k)$. Montrer que si $A$ est inversible, cette égalité se généralise à tout entier relatif $k$.

Exercice 3-10

Pour tout $A\in {\mathrm{M}}_n(ℂ)$, soit ${\phi }_A$ l'endomorphisme de ${\mathrm{M}}_n(ℂ)$ défini par

${\phi }_A(M)=AM-MA$.

1. Montrer que si $A$ est diagonalisable alors ${\phi }_A$ aussi. On pourra commencer par le cas où $A$ est diagonale.
2. Soient $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ sur $ℂ$ et $(M_1,\dots ,M_m)$ une base de $\mathrm{L}(E)$ (donc $m=n^2$). Montrer que pour tout vecteur $v$ non nul, $(M_1(v),\dots ,M_m(v))$ engendre $E$. En déduire la réciproque de 1.
3. Montrer que si $A$ est nilpotente alors ${\phi }_A$ aussi (pour un exemple, voir 5).
4. Quelle est la décomposition de Dunford de ${\phi }_A$ en fonction de celle de $A$ ?
5. Soit $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$. Étudier les éléments propres de ${\phi }_A$. Trouver une base de ${\mathrm{M}}_2(ℂ)$ dans laquelle la matrice de ${\phi }_A$ est $\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$.

Exercice 3-11

Soit $u$ l'endomorphisme de ${ℝ}^5$ dont la matrice dans la base canonique est

$A=\left(\begin{array}{ccccc}9/2& -7/4& -7/4& -3& -1/2\\ 1& 1/2& -1/2& 0& 0\\ 6& -3& -2& -6& -1\\ 2& -1& -1& -1& -1/3\\ 6& -3& -3& 3& -3\end{array}\right)$.

On pose $f_1=e_2-e_3$, $f_3=\frac{1}{2}{e}_1+\frac{1}{3}{e}_4+e_5$, $f_2=(u-\mathrm{i}\mathrm{d})(f_3)$.

1. Calculer $f_2$ puis $(u-\mathrm{i}\mathrm{d})(f_2)$. En déduire que $f_3\in \ker (u-\mathrm{i}\mathrm{d}{)}^2$ et $f_2\in \ker (u-\mathrm{i}\mathrm{d})$.
2. Vérifier que $f_1\in \ker (u-\mathrm{i}\mathrm{d})$ et que $(f_1,f_2)$ est libre.
3. Déterminer $\ker (u+2\mathrm{i}\mathrm{d})$ et un vecteur $f_4$ propre pour la valeur propre $-2$.
4. Déterminer $f_5$ tel que $(u+2\mathrm{i}\mathrm{d})(f_5)=f_4$.
5. En déduire (sans calculs) que $(f_1,\dots ,f_5)$ est une base de ${ℝ}^5$, puis déterminer la matrice $B$ de $u$ dans cette base. Effectuer une décomposition de Dunford de $B$. En déduire $B^k$ pour $k\in {\mathbb{N}}^{*}$, et $B^{-1}$.
6. Préciser le polynôme caractéristique et le polynôme minimal et retrouver ainsi $B^{-1}$.
7. Préciser les sous-espaces $\ker (u-\mathrm{i}\mathrm{d}),\ker (u-\mathrm{i}\mathrm{d}{)}^2,\ker (u-\mathrm{i}\mathrm{d}{)}^3,\ker (u+2\mathrm{i}\mathrm{d}{)}^2$.

Exercice 3-12

Soit $u$ un endomorphisme de ${ℂ}^5$ non diagonalisable, non nilpotent, de rang 2.

1. Montrer que le sous-espace caractéristique associé à la valeur propre 0 est soit $\ker u$, soit $\ker (u^2)$.
2. Montrer que $u$ admet exactement deux sous-espaces caractéristiques.
3. Soit $b=(b_1,\dots ,b_5)$ une base de Dunford pour $u$ telle que $b_1,b_2,b_3\in \ker u$. Quelles sont les formes possibles de la matrice de $u$ dans $b$ ?

Exercice 3-13

Soit $A\in {\mathrm{M}}_n(ℂ)$.

1. On suppose dans cette question que la suite $(A^k{)}_{k\in {\mathbb{N}}^{*}}$ tend vers $0$. Montrer que les valeurs propres de $A$ sont de module $<1$.
2. Si $A$ n'a qu'une valeur propre $\lambda$, montrer que la matrice $N:=A-\lambda {\mathrm{I}}_n$ est nilpotente. Expliciter $(\lambda {\mathrm{I}}_n+N{)}^k$ avec les coefficients du binôme et en déduire que si $|\lambda |<1$ alors la suite $(A^k{)}_{k\in {\mathbb{N}}^{*}}$ tend vers $0$.
3. Si toutes les valeurs propres de $A$ sont de module $<1$, montrer que la suite $(A^k{)}_{k\in {\mathbb{N}}^{*}}$ tend vers $0$ (méthode : introduire une base de Dunford pour $A$ et appliquer la question précédente).

Liens externes

• Modèle:Lien web : sélectionner le module L2 Algèbre, puis le chapitre 201 (réduction d'endomorphisme, polynôme…) et le sous-chapitre 201.06 (réduction de Jordan)
• Modèle:Lien web (calculateur en ligne)