Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur les racines n-ièmes

Exercice 6-1

1°  Soit $Z=2-2\mathrm{i}\sqrt{3}$. Écrire la représentation trigonométrique de $Z$.

Résoudre dans $ℂ$ : $z^4=Z$.

2°  Déterminer par la méthode algébrique les nombres complexes $X$ tel que $X^2=Z$, puis les nombres complexes $z$ tels que $z^4=Z$.

3°  En déduire $\cos \frac{\pi }{12}$ et $\sin \frac{\pi }{12}$. Modèle:Solution

Exercice 6-2

1°  Soit $u$, nombre complexe différent de $-1$, de module $1$, d'argument $\theta$.

a)  Calculer le module et un argument de $\frac{1-u}{1+u}$.

b)  En déduire le module et un argument de $z$ tel que $\frac{2+\mathrm{i}z}{2-\mathrm{i}z}=u$.

2°  Résoudre dans $ℂ$ : ${(2+\mathrm{i}z)}^5={(2-\mathrm{i}z)}^5$. Modèle:Solution

Exercice 6-3

1°  Résoudre, dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation $z^6=-1$.

2°  Mettre le polynôme $z^6+1$ sous la forme d'un produit de trois polynômes à coefficients réels. Modèle:Solution

Exercice 6-4

1°  Déterminer, sous forme trigonométrique, les solutions complexes de l’équation :

$z^3=4\sqrt{2}(-1+\mathrm{i})$.

2°  En utilisant les racines cubiques de l'unité, écrire les solutions de cette équation sous forme algébrique.

3°  Déduire des questions précédentes les valeurs de :

$\cos \frac{11\pi }{12}$ et $\sin \frac{11\pi }{12}$, puis de

$\cos \frac{\pi }{12}$ et $\sin \frac{\pi }{12}$.

Exercice 6-5

1°  Résoudre, dans le corps des nombres complexes, l'équation $z^{12}=1$. Donner les solutions sous forme trigonométrique puis algébrique.

2°  $u$ désignant un nombre complexe différent de $1$, calculer au moyen des seuls $u^{n+1}$ et $u$ :

$1+u+u^2+\cdots +u^n$.

3°  Donner les solutions de l'équation $z^8+z^4+1=0$. Modèle:Solution

Exercice 6-6

1°  Résoudre dans $ℂ$ l'équation $z^5=-\mathrm{i}$.

On précisera le module et l'argument des racines et on présentera leurs images dans le plan complexe.

2°  Calculer la somme des racines et interpréter géométriquement ce résultat en introduisant l'isobarycentre de leurs images.

(Rappel : l'isobarycentre d'un ensemble de points $\{A,B,C,\cdots \}$ est le point $I$ vérifiant $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\cdots =\overrightarrow{0}$.)

3°  Résoudre dans $ℂ$ l'équation :

$1+\mathrm{i}z-z^2-\mathrm{i}{z}^3+z^4=0$.

(On se ramènera à l'équation précédente, en calculant une somme de la forme $1+k+k^2+k^3+k^4$.)

Exercice 6-7

1°  Écrire sous forme trigonométrique les racines cubiques du nombre complexe $a=16(1-\mathrm{i})$.

2°  Pour $\lambda$ nombre réel quelconque, on pose :

$z_{\lambda }=1+\mathrm{i}+2\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\lambda }=x_{\lambda }+\mathrm{i}{y}_{\lambda }$.

a)  Calculer les réels $x_{\lambda }$ et $y_{\lambda }$ en fonction de $\lambda$.

b)  Déterminer l'ensemble (C) des points $M_{\lambda }$ de coordonnées $(x_{\lambda },y_{\lambda })$ quand $\lambda$ décrit $[0,2\pi [$.

3°  Montrer que les solutions de l'équation :

${(z-(1+\mathrm{i}))}^3=a$

sont les affixes de trois points de (C).

Exercice 6-8

1°  Exprimer les racines complexes $z_k$ de l'équation $z^5=1$ en fonction des nombres ${\theta }_k=\frac{2k\pi }{5}$, où $k\in [-2,2]$.

2°  Quelle est la nature du polygone dont les sommets A_k ont pour affixe $z_k$ ?

Déterminer l'isobarycentre des points A_k.

3°  En déduire une équation du second degré à coefficients entiers satisfaite par $a=\cos \frac{2\pi }{5}$. Résoudre cette équation ; calculer $\cos \frac{2\pi }{5}$ et $\cos \frac{4\pi }{5}$.

4°  À tout nombre complexe $u$, différent de $-1$, on associe $z=\frac{u-1}{u+1}$. Calculer $u$ en fonction de $z$.

5°  À l'aide des résultats précédents, résoudre dans $ℂ$ l'équation $(u-1{)}^5=(u+1{)}^5$. Que remarque-t-on ?

6°  Expliquer ce dernier résultat en déterminant l'ensemble des points dont l'affixe $u$ est telle que $\left|\frac{u+1}{u-1}\right|=1$. Modèle:Solution

Exercice 6-9

1. Donner, suivant les valeurs de $\theta \in [0,2\pi [$, le module et l'argument de $1+{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }$.
2. Résoudre dans $ℂ$ l'équation $z^5={(1+{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta })}^5$.

Exercice 6-10

Soit $z=1+\mathrm{i}$.

1. Calculer le module et m'argument ($\in [0,2\pi [$) de $z$.
2. En déduire les valeurs des racines cubiques de $z$, sous forme polaire.