Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur la trigonométrie

Modèle:Exercice En cas de difficultés à faire les exercices ci-dessous, voir éventuellement et préalablement d'autres exercices plus simples sur la trigonométrie utilisant les nombres complexes.

Exercice 5-1

Linéariser les expressions suivantes :

a)  ${\cos }^{3}x{\sin }^{3}x$ ;

b)  ${\cos }^{4}x{\sin }^{3}x$ ;

c)  ${\cos }^{4}x{\sin }^{2}x$. Modèle:Solution

Exercice 5-2

Linéariser les expressions suivantes :

a) $2^{2m}{\cos }^{2m}x$

b) $(-1{)}^m{2}^{2m}{\sin }^{2m}x$

c) $2^{2m+1}{\cos }^{2m+1}x$

d) $(-1{)}^m{2}^{2m+1}{\sin }^{2m+1}x$

e) $\frac{\sin ((2n+1)x)}{\sin x}$

f) $\frac{\sin (2nx)}{\sin x}$

g) $\cos (2x){\sin }^{3}x$

Exercice 5-3

Simplifier l’expression :

$\frac{\sin a+\sin 3a+\sin 5a+\cdots +\sin (2n-1)a}{\cos a+\cos 3a+\cos 5a+\cdots +\cos (2n-1)a}$

Exercice 5-4

Question 1

Soit $n\in \mathbb{N}$. Calculer $C(x):=\sum _{k=0}^n\cos 2kx$ et $S(x):=\sum _{k=1}^n\sin 2kx$ pour tout $x\in ℝ$ et en déduire $A(x):=\sum _{k=1}^{n}k\cos kx$ et $B(x):=\sum _{k=1}^{n}k\sin kx$. Modèle:Solution

Question 2

De manière semblable, calculer les sommes suivantes où $a$, $b$ et $x$ sont des réels :

a)  $\sum _{k=0}^n\cos (a+kb)$ ;

b)  $\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cos (a+kb)$ ;

c)  $\sum _{k=0}^{n}k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}kx}$. Modèle:Solution

Exercice 5-5

1°  En utilisant la formule de Moivre, calculez $\cos 5\theta$ en fonction de $\cos \theta$.

2°  En déduire une équation du 5^e degré admettant pour solution $\cos \frac{\pi }{5}$.

3°  En interprétant les autres solutions de cette équation, la résoudre, et précisez la valeur de $\cos \frac{\pi }{5}$. Modèle:Solution

Exercice 5-6

Soit : $z=\cos \frac{2\pi }{7}+\mathrm{i}\sin \frac{2\pi }{7};S=z+z^2+z^4;T=z^3+z^5+z^6$.

1°  Démontrez que $S$ et $T$ sont conjugués et que la partie imaginaire de $S$ est positive.

2°  Calculez $S+T$, $ST$, puis $S$ et $T$.

3°  Quelles formules trigonométriques pouvez-vous déduire de ce qui précède ? Modèle:Solution

Exercice 5-7

Soient $n$ un entier strictement positif et $\theta$ un réel appartenant à $]0,\pi [$. On pose :

• $S_n={\cos }^2\theta +{\cos }^2\theta \cos 2\theta +\cdots +{\cos }^p\theta \cos p\theta +\cdots +{\cos }^n\theta \cos n\theta$ ;
• ${S_n}^{\prime }=\cos \theta \sin \theta +{\cos }^2\theta \sin 2\theta +\cdots +{\cos }^p\theta \sin p\theta +\cdots +{\cos }^n\theta \sin n\theta$ ;
• ${\mathrm{\Sigma }}_n=S_n+i{S_n}^{\prime }$.

1. Montrez que ${\mathrm{\Sigma }}_n$ est la somme des $n$ premiers termes d'une suite géométrique complexe, dont on donnera le premier terme et la raison.
2. En déduire la valeur de ${\mathrm{\Sigma }}_n$, puis de $S_n$, en fonction de $n$ et $\theta$.