Approfondissement sur les suites numériques/Relations de comparaison

Dans cette leçon, on va aborder les relations de comparaison entre les suites, et l'objectif est d'étudier le comportement des suites en l'infini. Une première information sur ce comportement est donnée par la limite de la suite, mais cela ne suffit pas pour décrire son comportement en l'infini.

Par exemple, les deux suites définies par $u_n=n$ et $v_n=\exp (n)$ divergent toutes les deux vers $+\mathrm{\infty }$ mais ne divergent pas à la même vitesse, car l'exponentielle croît beaucoup plus vite, comme en témoigne la limite $\frac{\exp (n)}{n}\to +\mathrm{\infty }$. L'objectif des notions présentées ici va justement être de formaliser ces différences, et elles trouveront des applications dans le calcul de limite, et dans le cours sur les séries elles permettront d'étudier la convergence des séries.

Les notions abordées dans cette leçon pour les suites (équivalence, domination et négligeabilité) sont un cas particulier des mêmes notions pour les fonctions.

Suites dominées

Une suite sera dite dominée par une autre si son comportement en l'infini est « encadré » par la suite dominante, et cela permet d'obtenir des informations sur la suite dominée. On traduit cette idée dans la définition suivante : Modèle:Définition

Remarque

1. La notation utilisée ici est celle de Landau. Il existe une autre notation, la notation de Hardy, moins courante, où l'on note $u_n\preccurlyeq v_n$ pour signifier que $(u_n)$ est dominée par $(v_n)$.
2. On remarque que deux suites différentes $(u_n)$ et $(v_n)$ peuvent être dominées par la même suite $(w_n)$. Dans ce cas l'emploi du signe égalité dans la notation de Landau peut prêter à confusion car on écrit : $u_n=O(w_n)$ et $v_n=O(w_n)$ avec malgré tout $(u_n)\ne (v_n)$. Pour éviter cette confusion, on pourrait écrire $u_n\in O(w_n)$ où $O(w_n)$ désigne l'ensemble des suites dominées par $(w_n)$, mais nous nous conformerons à la pratique courante de la notation.

Modèle:Proposition À ce stade, il faut savoir comment se comporte la relation de comparaison vis-à-vis des opérations usuelles, et ici (contrairement à l'équivalence) tout se passe bien comme nous l'assure le résultat suivant : Modèle:Proposition Modèle:Démonstration déroulante

Voyons quelques applications de la domination : Modèle:Proposition Modèle:Démonstration déroulante

Suites négligeables

Voyons maintenant la notion de suite négligeable devant une autre. Concrètement, ce phénomène se produit lorsqu'une suite est « beaucoup plus petite » ou « beaucoup moins grande » qu'une autre quand $n$ devient très grand. Modèle:Définition La même remarque que pour la domination s'applique concernant la notation $u_n=o(v_n)$. Et l'on conserve une caractérisation plus simple à l'aide d'un quotient comme nous l'indique la proposition suivante : Modèle:Proposition De même que pour la domination, la notion de prépondérance se comporte bien vis-à-vis des opérations algébriques sur les suites. Modèle:Proposition Modèle:Démonstration déroulante Les applications de cette notion se manifestent également dans le comportement « à l'infini » des suites, ce qui est, rappelons-le, l'objectif des notions développées dans cette leçon. Modèle:Proposition Modèle:Démonstration déroulante Modèle:Exemple

Avec la notation de Hardy $u_n\prec v_n$ pour $u_n=o(v_n)$, on peut mémoriser l'essentiel de ces résultats sous la forme :

$\mathrm{\forall }\alpha >0\mathrm{\forall }a>1$ :

$\ln n\prec n^{\alpha }\prec a^n\prec n!\prec n^n$.

Suites équivalentes

Premiers pas

Intuitivement, deux suites vont être équivalentes si elles sont « à peu près égales quand $n$ devient très grand », et ainsi elles auront le même « comportement » en l'infini. C'est ce que traduit la définition suivante :

Remarques

• Pour des suites équivalentes, la notation $u_n\sim v_n$ est non ambiguë (de même que la notation $u_n\to \ell$ pour la limite d'une suite), contrairement à la notation $f\sim g$ pour des fonctions.
• D'après la définition, les seules suites équivalentes à la suite nulle sont les suites $(u_n)$ nulles à partir d'un certain rang. De plus, nous avons la caractérisation suivante, très utile pour déterminer des équivalents (attention, on a souvent tendance à penser que ceci constitue la définition des suites équivalentes).

Remarque

On en déduit que si $u_n\sim v_n$ et si $(v_n)$ est non nulle à partir d'un certain rang alors, pour $n$ assez grand, $u_n$ est non nul et du même signe que $v_n$.

Regardons maintenant quelques exemples de suites équivalentes qui s'obtiennent directement en montrant que $\frac{u_n}{v_n}\to 1$.

Montrons maintenant que le vocabulaire retenu ici est cohérent. Modèle:Proposition Modèle:Démonstration déroulante

Opérations sur les suites équivalentes

L'objectif est ici de voir les propriétés qui vont nous servir pour le calcul des équivalents. En premier lieu, voici les opérations qu'il est possible de réaliser sur les suites équivalentes, ce qui permettra de simplifier le calcul effectif d'équivalent : Modèle:Proposition Modèle:Démonstration déroulante
Modèle:Exemple

Remarques

De manière générale, il est « interdit » de réaliser des sommes d'équivalents ou de composer une relation d'équivalence par une fonction. De manière formelle, si $u_n\sim v_n$ et $u{\text{'}}_n\sim v{\text{'}}_n$, on peut avoir $u_n+u{\text{'}}_n\nsim v_n+v{\text{'}}_n$, et pour une fonction $f$, $f(u_n)\nsim f(v_n)$.

Par exemple, on a $1+\frac{1}{n}\sim 1$ mais $1+\frac{1}{n}+(-1)=\frac{1}{n}\nsim 0=1+(-1)$.

Et pour la composition, un contre-exemple est donné, pour $f=\ln$, par ${\mathrm{e}}^{1/n}\sim 1$ mais $\ln \left({\mathrm{e}}^{1/n}\right)=\frac{1}{n}\nsim 0=\ln 1$.

Voyons maintenant des équivalents qui serviront de référence. Tous se déduisent d'équivalents usuels en 0 de fonctions, en les composant à droite par la suite. Modèle:Proposition

Applications

Ici, nous allons voir quelques applications du calcul d'équivalent. Ces applications vont reposer majoritairement sur les propriétés suivantes : Modèle:Proposition Modèle:Démonstration déroulante Utilisons maintenant la notion d'équivalence pour le calcul de limite de suite : Modèle:Exemple

Interactions entre les notions

Dans cette partie, nous allons donner des résultats sur le comportement des trois notions vues ci-dessus entre elles. À ce stade, le lecteur débutant peut se sentir submergé par le nombre de résultats à retenir mais il faut bien voir qu'une fois les notions bien comprises (à travers des exercices), la majorité des résultats de cette leçon deviennent élémentaires. Les démonstrations découlant directement des définitions, elles seront laissées à titre d’exercice.