Théorie des groupes/Exercices/Lois de composition internes, monoïdes

Exercice 1

Soient $(G,*,e_G)$ et $(H,\star ,e_H)$ deux monoïdes.

1. Montrer que dans $H$, le seul élément idempotent simplifiable à gauche ou à droite est l'élément neutre.
2. En déduire que si $H$ est régulier, tout morphisme de magmas de $G$ dans $H$ applique élément neutre sur élément neutre (donc est un morphisme de monoïdes).

Exercice 2

Soient $f:G\to H$ un morphisme de monoïdes, et $x$ un élément inversible de $G$. Montrer que $f(x)$ est inversible dans $H$ et que son inverse est $f(x^{-1})$.

Exercice 3

Soit M un monoïde, soient a et b deux éléments de M commutant entre eux, soit n un nombre naturel. Prouver que $(ab{)}^n=a^n{b}^n$. Modèle:Solution