Espace préhilbertien réel/Exercices/Produit scalaire

Exercice 6-1

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$ . Démontrer que pour tous réels $x_{1}, \dots, x_{n}$ , on a :

$\sum_{1 \leq i < j \leq n} x_{i} x_{j} \leq \frac{n - 1}{2} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}$ .

Soient $a, b, c$ trois nombres réels strictement positifs. Démontrer l'inégalité suivante :

\sqrt{\frac{2 a}{a + b}} + \sqrt{\frac{2 b}{b + c}} + \sqrt{\frac{2 c}{a + c}} \leq 3

.

Soient $a, b, c \in ℝ$ .

Montrer que $| 6 a + 3 b + 2 c | \leq 7 \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ . Quand a-t-on égalité ?
Montrer que $2 a + 3 b + 4 c \leq \sqrt{29 (a^{2} + b^{2} + c^{2})}$ . Quand a-t-on égalité ?
Montrer que $a + b + c \leq 7 \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ . Quand a-t-on égalité ?
Montrer que $3 a + 4 b \leq 5 \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ . Quand a-t-on égalité ?