Algèbre linéaire et calcul matriciel/Espaces vectoriels (définitions et exemples)

Avant de commencer...

À ce niveau-ci, nous nous concentrerons sur les corps commutatifs (mais signalons que les espaces vectoriels en général peuvent aussi être définis sur des corps non commutatifs).

Espaces vectoriels

Les espaces vectoriels sont définis et décrits dans la leçon « Espace vectoriel » qui est un prérequis pour celle-ci. En particulier, les notions de famille libre, de famille génératrice et de base sont détaillées dans le chapitre « Familles de vecteurs » de cette leçon.

Pour rappel :

• Une base d'un espace vectoriel E est une famille de vecteurs de E qui est à la fois génératrice de E et libre.
• Une famille de vecteurs est dite libre si aucun de ces vecteurs n'est combinaison linéaire des autres.
• Le sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs est l’ensemble des combinaisons linéaires de ces vecteurs.
• Une famille de vecteurs de E est génératrice de E quand le sous-espace vectoriel engendré est E tout entier.

On démontre si E est engendré par un nombre fini de vecteurs, alors il admet une base finie et toutes ses bases ont le même nombre d'éléments ; ce nombre n est appelé la dimension de E.
De plus, les familles libres ont alors toutes au plus n éléments et les familles génératrices de E ont au moins n éléments. Enfin, toute famille de n vecteurs qui est génératrice de E ou libre est une base (donc a aussi l'autre propriété).