Intégrale double/Étude de l'intégration sur des compacts simples

Intégrale double sur un compact élémentaire

On définit l'intégrale de $f:\mathrm{\Delta }\to 𝕂$, où $\mathrm{\Delta }$ est un compact élémentaire, par :

$\underset{\mathrm{\Delta }}{\iint }f=???$.

À titre d'exercice, vous pouvez redémontrer les propriétés de linéarité, l'inégalité triangulaire…

Formule de changement de variables

Soit $𝒰$ un ouvert de ${ℝ}^2$ et $\varphi :(u,v)\to (x,y)$ une injection ${𝒞}^1$ de $𝒰$ dans ${ℝ}^2$. En notant son jacobien :

$\frac{D(x,y)}{D(u,v)}=\left|\begin{array}{ccc}\frac{\partial x}{\partial u}& & \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& & \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right|$

il vient alors, pour $f:\varphi (U)\to 𝕂$ :

$\underset{\varphi (U)}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\underset{U}{\iint }f(\varphi (u,v))\left|\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\right|\mathrm{d}u\mathrm{d}v$.

Cas des cordonnées polaires

Modèle:Proposition Cet exemple est traité dans Calcul différentiel/Jacobien#Jacobien et matrice jacobienne.