Série entière/Exercices/Série entière et équation différentielle

Exercice 6-1

1°  Déterminer les solutions, définies sur $]-1,1[$, de l'équation différentielle linéaire du premier ordre

$(1-x^2)y^{\prime }=xy+1$.

Modèle:Solution 2°  Montrer qu’il existe une série entière dont la somme $S(x)$ est nulle en $0$ et solution de cette équation différentielle. On précisera son rayon de convergence. Modèle:Solution 3°  En déduire que pour tout $x\in ]-1,1[$,

$(\arcsin x{)}^2=\sum _{n\ge 0}{b}_n\frac{x^{2n+2}}{n+1}$ avec $b_n=\frac{(2^{n}n!{)}^2}{(2n+1)!}$.

Exercice 6-2

1. Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière $f(z):=\sum _{k\ge 1}\frac{z^k}{k}$ et montrer que $\mathrm{\forall }z\in D(0,R)f^{\prime }(z)=\frac{1}{1-z}$.
2. Calculer la dérivée (sur $D(0,R)$) de $g:z\mapsto (1-z)\exp (f(z))$.
3. En déduire : $\mathrm{\forall }z\in D(0,1)\exp \left(\sum _{k\ge 1}\frac{z^k}{k}\right)=\frac{1}{1-z}$.

Exercice 6-3

Modèle:Wikipédia Modèle:Wikipédia On fixe $n\in \mathbb{N}$ et l'on considère, sur $]0,+\mathrm{\infty }[$, l'équation différentielle linéaire du second ordre (homogène, à coefficients non constants) :

$x^2{y}^{″}+x{y}^{\prime }+(x^2-n^2)y=0$.

1. Que peut-on dire de l'ensemble des solutions ?
2. Déterminer les séries formelles solutions de l'équation différentielle formelle associée, et en particulier celle, notée $J_n$, telle que $J_n^{(n)}(0)=2^{-n}$.
3. Quel est le rayon de convergence de la série entière $J_n$ ?