Mécanique du point/Oscillateurs

Oscillateur harmonique

Exemples d'oscillateurs

Masse-ressort : mouvement horizontal

Mouvement horizontal

On considère un mobile auto porteur relié à un mur par un ressort de raideur k.

Bilan des forces :

• Une force de rappel ${\overrightarrow{F}}_R$ due au ressort et proportionnelle au déplacement du mobile
• Le poids $\overrightarrow{P}$
• La réaction du support $\overrightarrow{R}$

On applique le principe fondamental de la dynamique au mobile : $m\overrightarrow{a}={\overrightarrow{F}}_R+\overrightarrow{P}+\overrightarrow{R}$

On projette sur l'axe (Ox) :

$m\ddot{x}(t)=-kx(t)$

On définie la pulsation propre de l'oscillateur : ${\omega }_0^2=\frac{k}{m}$

On obtient une équation différentielle du second degré : Modèle:Encadre

Système Masse suspendue à un ressort

Bilan des forces :

• Poids $\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g}$
• Force de rappel du ressort : ${\overrightarrow{F}}_R=-k(l-l_0){\overrightarrow{u}}_x$

Principe fondamental de la dynamique :

$m\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{g}-k(l-l_0){\overrightarrow{u}}_x$

On projette sur l'axe à l'équilibre :

$0=mg-k(l_e-l_0)$

$k{l}_e=mg+k{l}_0$

$l_e=l_0+\frac{mg}{k}$

On introduit x l'écart par rapport à la position d'équilibre :

$l=l_e+x$

$m\ddot{x}=mg-k(l-l_0)$

$m\ddot{x}=mg-k(l_e+x-l_0)$

$m\ddot{x}=mg-k(l_0+\frac{mg}{k}+x-l_0)$

$m\ddot{x}=mg-k{l}_0-mg-kx+k{l}_0$

$m\ddot{x}=-kx$

$\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0$

Solution

On cherche si une solution de la forme $x(t)=A\sin ({\omega }_{0}t+\varphi )$ peut convenir. Calculons ses dérivées par rapport au temps :

$\dot{x}(t)=\frac{dx(t)}{dt}=A{\omega }_{0}cos({\omega }_{0}t+\varphi )$

$\ddot{x}(t)=\frac{d^{2}x(t)}{d{t}^2}=-A{\omega }_0^2\sin ({\omega }_{0}t+\varphi )=-{\omega }_0^{2}x(t)$

Introduisons ces expressions dans la partie gauche de l'équation caractéristique :

$\begin{array}{cc}\ddot{x}(t)+{\omega }_0^{2}x(t)& =-{\omega }_0^{2}x(t)+{\omega }_0^{2}x(t)\\ & =0\end{array}$

A est l'amplitude (en mètre) et $\varphi$ la phase (en radian). Ces constantes sont déterminées grâce aux conditions initiales (Exemple).

La période propre $T_0$ du mouvement est la durée entre 2 passages consécutifs dans le même sens pour une position donnée. Une telle durée correspond à une augmentation de $2\pi$ de l'argument de la fonction sinusoïdale et donc à ${\omega }_0{T}_0=2\pi$

Ainsi :

La période est indépendante de l'amplitude du mouvement. Un tel système est dit isochrone.

Aspect énergétique

La vitesse est :

$v=\dot{x}(t)=A\omega cos({\omega }_{0}t+\varphi )$

L'énergie cinétique est :

$E_c=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}m{A}^2{\omega }_0^{2}co{s}^2({\omega }_{0}t+\varphi )=\frac{1}{2}k{A}^{2}co{s}^2({\omega }_{0}t+\varphi )$

L'énergie potentielle est :

$E_p=\frac{1}{2}k{x}^2=\frac{1}{2}k{A}^{2}si{n}^2({\omega }_{0}t+\varphi )$

L'énergie mécanique est :

$E_m=E_c+E_p=\frac{1}{2}k{A}^2(co{s}^2({\omega }_{0}t+\varphi )+si{n}^2({\omega }_{0}t+\varphi ))=\frac{1}{2}k{A}^2$

L'énergie mécanique est constante au cours du temps et proportionnelle au carré de l'amplitude.

$\ddot{\theta }+{\omega }_0^2\theta =0$ avec ${\omega }_0^2=\frac{g}{l}$

Oscillations amorties par un frottement fluide

En plus de la force de rappel, la particule est soumise à une force de frottement F=-bv. On applique le principe fondamental de la dynamique :

$m\ddot{x}=-b\dot{x}-kx$

$m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=0$

$\ddot{x}+2\beta \dot{x}+{\omega }_0^{2}x=0$ avec ${\omega }_0^2=\frac{k}{m}$ et $2\beta =\frac{b}{m}$

Le discriminant est :

$\delta =4{\beta }^2-4{\omega }_0^2=4({\beta }^2-{\omega }_0^2)$

$\sqrt{\delta }=2\sqrt{{\beta }^2-{\omega }_0^2}$

Les solutions sont :

$x_1=\frac{-2\beta -2\sqrt{\delta }}{2}=-\beta -\sqrt{{\beta }^2-{\omega }_0^2}$

$x_2=\frac{-2\beta +2\sqrt{\delta }}{2}=-\beta +\sqrt{{\beta }^2-{\omega }_0^2}$

Oscillations forcées

$M\ddot{x}+B\dot{x}+Kx=F\cos \omega t$