Réduction des endomorphismes/Réductions de Jordan et de Dunford

Dans ce chapitre, $E$ est un $K$-espace vectoriel et $\phi$ est un endomorphisme de $E$. On suppose que $\phi$ possède un polynôme minimal (ce qui est assuré si $E$ est de dimension finie).

Décomposition de Dunford

Remarque

D'après l'unicité de la décomposition, si $\nu \ne 0$ alors $\phi$ n'est pas diagonalisable.

En particulier, la somme d'une matrice scalaire et d'une matrice nilpotente non nulle n'est pas diagonalisable. Exemple : un bloc de Jordan de dimension > 1.

Réduction d'un endomorphisme nilpotent

Soit $u$ un endomorphisme nilpotent de $E$. Les définitions et propriétés suivantes seront étendues, dans le prochain chapitre, à un endomorphisme non nécessairement nilpotent.

Remarques

• Si $u$ est nilpotent d'indice $p$, son polynôme minimal est $X^p$.
• L'indice d'un vecteur $x$ est l'indice de la restriction de $u$ à $S_x$.
• Si $x$ est d'indice $p_x$, la famille $(x,u(x),u^2(x),\dots ,u^{p_x-1}(x))$ est une base de $S_x$.

Modèle:Théorème

Réduction de Jordan

L'objectif de ce paragraphe est d'énoncer et de démontrer le théorème de Jordan, en dimension finie. La démonstration fournira une méthode pratique de réduction de Jordan (ou « jordanisation ») d'une matrice, qu'on illustrera sur un exemple.

Remarques

• La forme de Jordan d'une matrice diagonalisable est la matrice diagonale associée.
• Une démonstration plus globale (donc moins propice aux calculs) consiste à passer par la décomposition de Dunford $\phi =\delta +\nu$, puis à appliquer à $\nu$ le théorème de décomposition d'un endomorphisme nilpotent.

Applications

Matrices semblables

Les réduites de Jordan caractérisent entièrement les classes de similitude dans ${\mathrm{M}}_n(K)$ :

Puissances d'une matrice

Si l'on a trouvé la décomposition de Dunford de $A\in {\mathrm{M}}_n(K)$ sous la forme $A=D+N$, alors comme $D$ et $N$ commutent, on peut appliquer la formule du binôme à $A=D+N$ :

$\mathrm{\forall }p\in \mathbb{N}{A}^p=(D+N{)}^p=\sum _{k=0}^p(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{k})D^{p-k}{N}^k$.

Comme nous savons déjà calculer les puissances de $D$ (qui est diagonalisable) et comme $N$ est nilpotente d'ordre $r$, on sait que $N^r=0$ et il reste à calculer (manuellement !) les puissances $N^2,N^3,\dots ,N^{r-1}$. Remarquez que si $p>r$, alors $\mathrm{\forall }k\in [r,p]\cap \mathbb{N}{D}^{p-k}{N}^k=0$.

Dans le cas où la décomposition de Dunford est même une décomposition de Jordan, les puissances sont plus faciles à calculer.

Exemple : On reprend l'exemple ci-dessus. Donc $A=PJ{P}^{-1}$ et $\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}{A}^k=P{J}^k{P}^{-1}$. Reste à calculer les puissances de $J$ : pour cela, on pose $J=D_J+N_J$ la décomposition de Dunford de $J$ qui « saute aux yeux » sur $J$ : $D_J=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 2& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right)$ et $N_J=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$. Modèle:...