Approfondissement sur les suites numériques/Suites extraites

Modèle:Chapitre Dans cette leçon, nous allons étudier la notion de suite extraite qui correspond à l'idée intuitive de ne prendre que certains termes au sein d'une suite. L'exemple le plus marquant, pour illustrer cette idée, est de prendre tous les termes de rang pair (ou impair) d'une suite. Cette notion nous permet d'obtenir des informations sur la limite d'une suite, et nous permet d'énoncer l'un des premiers théorèmes fondamentaux de topologie : le théorème de Bolzano-Weierstrass.

Définitions et premières propriétés

Suites extraites

Formalisons tout d'abord l'idée de ne prendre que certains termes de la suite : Modèle:Définition

Remarques

1. On montre par une récurrence directe que pour toute extractrice $\varphi$, on a : $\varphi (n)\ge n$. Ce qui prouve que $\varphi (n)\to \mathrm{\infty }$.
2. Si $\varphi ,\psi$ sont deux extractrices, alors $\varphi \circ \psi$ est également une extractrice.
3. L'exemple fondamental est donné par les deux suites $(u_{2n}),(u_{2n+1})$, qui sont les suites extraites des termes de rang pair, et de rang impair respectivement.

Limites de suites extraites

Le théorème suivant est le point central de cette partie, et va nous permettre d'obtenir des informations sur la limite d'une suite à partir de ses suites extraites. En particulier, il nous donne un candidat potentiel pour la limite d'une suite à partir de la limite d’une de ses suites extraites. Modèle:Théorème Modèle:Démonstration déroulante Par contraposition, ce théorème équivaut au corollaire suivant qui va nous permettre, lorsqu'une suite diverge, de le prouver facilement. Modèle:Corollaire Modèle:Exemple Vous démontrerez en exercice un résultat qui paraît évident mais qui est très souvent utile dans la pratique : Modèle:Proposition

Remarque

Il est important de souligner qu'il ne suffit pas que les deux sous-suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent pour que la suite $(u_n)$ converge (comme le montre l'exemple précédent) : il faut qu'elles convergent vers la même limite.

Théorème de Bolzano-Weierstrass

Nous pouvons maintenant nous attaquer à l'un des théorèmes fondamentaux de la topologie : le théorème de Bolzano-Weierstrass. Ce dernier permet, notamment, de démontrer un théorème bien connu de l'analyse qui nous dit que toute fonction continue sur un segment de $ℝ$ est bornée et atteint ses bornes. Modèle:Théorème Modèle:Démonstration déroulante