Suites et séries de fonctions/Suites de fonctions

On considère dans cette leçon des fonctions d'une variable réelle.

Convergence simple

Cela signifie qu'on se fixe une valeur de $x\in 𝒟$ et qu'on étudie la convergence d'une suite « paramétrée par $x$ » qui est la suite $(f_n(x))$ .

On remarque dans cet exemple que la convergence simple ne permet pas de maîtriser les propriétés analytiques de la fonction limite : la suite de fonctions ici considérée est une suite de fonctions continues mais la fonction limite présente une discontinuité en $\frac{\pi }{2}$ . C'est ce qui motive l’introduction de la notion de convergence uniforme.

Convergence uniforme

Intuitivement, la convergence uniforme est une convergence qui a lieu "uniformément" (c'est-à-dire "à la même vitesse") sur tout le domaine de définition $𝒟$. Ce n’est pas le cas pour l'exemple choisi ici : en effet, il existe une "bosse" en $\frac{\pi }{2}$ qui "persiste" lors du passage à la limite.

On abrègera « convergence simple » en « CVS » et « convergence uniforme » en « CVU ».

Remarque Sur l'espace ${𝒞}^0(𝒟)$, (où $𝒟$ est un compact), la norme « infinie » ou norme sup ou encore norme de la convergence uniforme s'écrit :

${\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{t\in 𝒟}{\sup }|f(t)|$.

Propriétés des suites de fonctions

Propriétés de la convergence simple

La convergence simple possède des propriétés assez faibles. On peut toutefois énoncer les propriétés suivantes :

(démonstration et exemple à faire)

Propriétés de la convergence uniforme

Elles sont beaucoup plus nombreuses et fortes. Tout d’abord :

Modèle:Théorème La réciproque est fausse (voyez le premier exemple ci-dessus). Modèle:Démonstration déroulante

Modèle:Théorème La démonstration repose de façon cruciale sur la convergence des suites de Cauchy dans $ℝ$. Pour un énoncé plus général — dans lequel le critère de Cauchy pour les suites est étendu aux fonctions — voir « Corollaire : théorème d'interversion des limites » dans la leçon de topologie (de niveau 16).

Modèle:Corollaire La contraposée de ce corollaire est pariculièrement utile : si une suite de fonctions continues converge vers une fonction discontinue, alors cette convergence n'est pas uniforme. Modèle:Exemple

Modèle:Théorème (Si les $f{\text{'}}_n$ sont continues, $f^{\prime }$ le sera donc également.) Modèle:Démonstration déroulante Modèle:Exemple

Modèle:Théorème C'est un corollaire du théorème précédent, grâce au théorème fondamental de l'analyse.

Enfin, on a le