Série numérique/Exercices/Fraction rationnelle

Exercice 3-1

Question 1

Soient $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite réelle de limite nulle et $a,b,c$ trois réels de somme nulle. On pose

$v_n=a{u}_n+b{u}_{n+1}+c{u}_{n+2}$.

1. Étudier la suite des sommes partielles de la série $\sum v_n$ puis calculer $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$.
2. Retrouver ce résultat à l'aide du produit de Cauchy.

Question 2

En admettant, bien que vous soyez supposé(e) savoir le trouver par vous-même, que

$\frac{2}{(X+1)(X+2)(X+3)}=\frac{1}{X+1}+\frac{-2}{X+2}+\frac{1}{X+3}$, en déduire que la série $\sum _{k\ge 0}\frac{2}{(k+1)(k+2)(k+3)}$ converge et déterminer sa somme.

Question 3

Retrouver le résultat précédent en utilisant la formule d'Euler : $H_n:=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}=\ln n+\gamma +{ϵ}_n$ avec $\lim {ϵ}_n=0$, vue dans l'[[../Série harmonique|exercice sur la série harmonique]].

Exercice 3-2

Montrer que la série $\sum \frac{(-1{)}^n}{n^2-1}$ converge et calculer $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n^2-1}$. Modèle:Solution

Exercice 3-3

Calculer $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(n+1)}$. Modèle:Solution