Sommation/Exercices/Séries de Fourier et fonction zêta

Exercice 9-1

Modèle:Wikipédia Calculer :

$a)\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{2k+1}b)\zeta (2)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}$.

Exercice 9-2

1. Pour tout entier $m\ge 2$, exprimer les deux sommes suivantes en fonction de $\zeta (m)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^m}$ :

   $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2k+1{)}^m}\text{et}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n^m}$.

2. À l'aide de l'exercice précédent, en déduire les valeurs de

   $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2k+1{)}^2}\text{et}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n^2}$.

Exercice 9-3

1. Calculer $\zeta (4)$.
2. En déduire les valeurs de $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2k+1{)}^4}\text{et}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n^4}$.

Exercice 9-4

1. Calculer $\zeta (6)$.
2. En déduire les valeurs de $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2k+1{)}^6}\text{et}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n^6}$.

Exercice 9-5

1. Calculer $\zeta (8)$.
2. En déduire les valeurs de $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2k+1{)}^8}\text{et}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n^8}$.

Exercice 9-6

Calculer la somme suivante :

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(k\pi {)}^2+4(k+1){\pi }^2-15}{k^4+8k^3+24k^2+32k+16}$.

Exercice 9-7

Modèle:Wikipédia a) Pour tous réels $q>0$ et $x>1$, on pose :

$\zeta (x,q)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(k+q{)}^{-x}$ (série convergente, par comparaison avec la série de Riemann $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^{-x}$).

Montrer que

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^{x-1}{\mathrm{e}}^{-tq}}{1-{\mathrm{e}}^{-t}}\mathrm{d}t=\zeta (x,q)\mathrm{\Gamma }(x)$,

où $\mathrm{\Gamma }$ désigne la fonction Gamma.

b) En déduire la valeur de l'intégrale suivante :

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t}{{\mathrm{e}}^t-1}\mathrm{d}t$

Exercice 9-8

1. Pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{*}$, montrer l'existence d'un polynôme $P_n$ tel que $\mathrm{\forall }\theta \in ℝ\setminus \pi \mathbb{Z}\sin ((2n+1)\theta )=P_n({\cot }^2\theta ){\sin }^{2n+1}\theta$
2. Préciser le degré, les racines de $P_n$, et la somme des racines.
3. Montrer que $\mathrm{\forall }\theta \in ]0,\pi /2[{\cot }^2\theta \le \frac{1}{{\theta }^2}\le 1+{\cot }^2\theta$.
4. Calculer $\sum _{k\ge 1}\frac{1}{k^2}$. Calculer de même $\sum _{k\ge 1}\frac{1}{k^4}$.

Exercice 9-9

Modèle:Wikipédia Soient $\zeta (3)=\sum _{n\ge 1}\frac{1}{n^3},\zeta (2,1)=\sum _{1\le k<n}\frac{1}{n^{2}k},S=\sum _{i,j\ge 1}\frac{1}{ij(i+j)}\text{et}T=\sum _{i,j\ge 1}\frac{1}{ij\max (i,j)}$.

Démontrer que $\zeta (3)=\zeta (2,1)=\frac{S}{2}=\frac{T}{3}$ Modèle:Solution