Intégrale double/Exercices/Calculs d'intégrales doubles

Exercice 1-1

Calculer

1. $\underset{[0,1]\times [0,\frac{\pi }{2}[}{\iint }\frac{\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{1+x^2{\tan }^{2}y}$ ;
2. $\underset{{[0,1]}^2}{\iint }\frac{\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{(x+y+1{)}^2}$ ;
3. $\underset{[-1,1]\times [1,2]}{\iint }\frac{x^2}{y}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ ;
4. $\underset{[0,\frac{\pi }{2}]\times [0,\frac{\pi }{2}]}{\iint }\sin (x+y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ ;
5. $\underset{[3,7]\times [-2,2]}{\iint }\frac{x}{\sqrt{1+xy+x^2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$.

Exercice 1-2

Calculer :

1. si $D$ est le triangle $x,y\ge 0,x+y\le 1$ :
   1. $\underset{D}{\iint }(x^2+y^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$,
   2. $\underset{D}{\iint }xy(x+y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$,
   3. $\underset{D}{\iint }(x+y){\mathrm{e}}^{-x}{\mathrm{e}}^{-y}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ ;
2. $\underset{D}{\iint }\frac{x\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{\sqrt{1+x^2+y^2}}$ où $D$ est le domaine défini par $0\le y^2\le 2x\le 4$ ;
3. $\underset{D}{\iint }\frac{xy}{1+x^2+y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ où $D=\{(x,y)\in [0,1{]}^2\mid x^2+y^2\ge 1\}$ ;
4. $\underset{D}{\iint }(x+y)\sin x\sin y\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ où $D$ est le triangle $x,y\ge 0,x+y\le \pi$ ;
5. $\underset{D}{\iint }(x+y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ où $D=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid 1\ge x\ge 0,x^2\le y\le x\}$ ;
6. $\underset{D}{\iint }\frac{\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{(x+y{)}^3}$ où $D=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid 3>x>1,y>2,x+y<5\}$ ;
7. $\underset{D}{\iint }\cos (xy)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ où $D=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid 2\ge x\ge 1,0\le xy\le 2\}$ ;
8. $\underset{D}{\iint }x\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ où $D=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid y\ge 0,x-y+1\ge 0,x+2y-4\le 0\}$ ;
9. $\underset{D}{\iint }xy\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ où $D=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid x,y\ge 0,xy+x+y\le 1\}$.

Exercice 1-3

On considère le domaine plan

$D=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid x\ge 0,2x^2\le y\le 3\}$

et la surface

$S=\{(x,y,z)\in {ℝ}^3\mid (x,y)\in D,z=x+y\}$.

1. Dessiner $D$ et calculer son aire et son périmètre.
2. Déterminer le centre d'inertie (ou centre de gravité) $G$ de $D$, défini par

   $\left(\underset{D}{\iint }1\mathrm{d}x\mathrm{d}y\right)\overrightarrow{OG}=\underset{D}{\iint }\overrightarrow{OM}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$.

3. Calculer $\underset{D}{\iint }(x+y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$. Quelle en est l'interprétation en termes de volume ?
4. Déterminer l'aire de $S$.

Modèle:Solution Pour $k>1$, déterminer le centre de gravité $(x_k,y_k)$ du trapèze $D_k$ de sommets $(0,0)$, $(1,0)$, $(1,1)$ et $(0,k)$. Modèle:Solution

1. Pour tout domaine $D\subset {ℝ}^2$ et toute application affine inversible $\phi :{ℝ}^2\to {ℝ}^2$, montrer que le centre de gravité de $\phi (D)$ est $\phi (G)$, où $G$ désigne le centre de gravité de $D$.
2. En déduire que si $D$ est symétrique par rapport à un point $O$ alors $G=O$.

Exercice 1-4

1. Dessiner le domaine

   $D=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid 0\le x\le y,x^2+y^2\le 1\}$.

2. Calculer $\underset{D}{\iint }(x+y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

   a) par calcul direct ;

   b) en passant en coordonnées polaires.

Exercice 1-5

Soient :

• $D$ le triangle de sommets $(0,0)$, $(1,0)$ et $(0,1)$ ;
• $\mathrm{\Phi }:{ℝ}^2\to {ℝ}^2,(x,y)\mapsto (u,v)=(2x+y,x-y)$ ;
• $\mathrm{\Delta }=\mathrm{\Phi }(D)$.

1. Expliquer pourquoi $\mathrm{\Delta }$ est un triangle et préciser ses sommets.
2. En utilisant un changement de variables, justifier l'égalité
   $\underset{\mathrm{\Delta }}{\iint }{\mathrm{e}}^{uv}\mathrm{d}u\mathrm{d}v=3\underset{D}{\iint }{\mathrm{e}}^{(2x+y)(x-y)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
   (sans calculer les intégrales en question).

Exercice 1-6

Soit $D=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid 0\le x\le y\le 1\}$. Représenter graphiquement $D$ et calculer $\underset{D}{\iint }xy\mathrm{d}x\mathrm{d}y$. Modèle:Solution Soit $\mathrm{\Omega }=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid 0\le y\le 1,0\le x\le \sqrt{y}\}$. Calculer $\underset{\mathrm{\Omega }}{\iint }xy\mathrm{d}x\mathrm{d}y$. Modèle:Solution

Exercice 1-7

Calculer :

1. $\underset{x^2+y^2\le 1}{\iint }(x^2+y^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ ;
2. $\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x,y\ge 0}{x^2+y^2\le 1}}{\iint }(4-x^2-y^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ ;
3. $\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\ge 0}{x^2+y^2\le 1}}{\iint }x{\mathrm{e}}^{(x^2+y^2{)}^{3/2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ ;
4. $\underset{{\pi }^2<x^2+y^2\le 4{\pi }^2}{\iint }\sin \sqrt{x^2+y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ et $\underset{4{\pi }^2\le x^2+y^2\le 9{\pi }^2}{\iint }\sin \sqrt{x^2+y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ ;
5. $\underset{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1}{\iint }(x^2+y^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ ;
6. $\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x,y>0}{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1}}{\iint }xy\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ ;
7. $\underset{y<x^2+y^2<x}{\iint }(x^2+y^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ ;
8. $\underset{(x^2+y^2{)}^2\le xy}{\iint }\sqrt{xy}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ ;
9. $\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x,y\ge 0}{x^2+y^2\le 1}}{\iint }xy\sqrt{x^2+4y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ ;
10. $\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\ge 0}{1\le x^2+y^2\le 4}}{\iint }xy(x^2+y^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ et $\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x,y\ge 0}{1\le x^2+y^2\le 4}}{\iint }\frac{xy}{x^2+y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ ;
11. $\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{\frac{1}{2}<x^2+y^2<3}{y>0}}{\iint }\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ ;
12. $\underset{x^2+y^2-2x\le 0}{\iint }\sqrt{x^2+y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ et $\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\ge 0}{1\le x^2+y^2\le 2y}}{\iint }\sqrt{x^2+y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$.

Exercice 1-8

Représenter graphiquement l'ensemble $D=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid 0\le y\le 1-x^2\}$ puis calculer

$\underset{D}{\iint }x\mathrm{d}x\mathrm{d}y$, $\underset{D}{\iint }y\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ et $\underset{D}{\iint }\mathrm{d}x\mathrm{d}y$.

Exercice 1-9

Calculer les intégrales suivantes.

1. $\underset{x\le 1,y\le 1,x+y\ge 1}{\iint }(x+y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ ;
2. $\underset{[-1,1{]}^2}{\iint }|x+y|\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ ;
3. $\underset{D}{\iint }xy\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ où $D$ est la partie du plan limitée par les paraboles d'équations respectives $y=x^2$ et $x=y^2$ ;
4. $\underset{x^2+y^2\le 1}{\iint }\frac{1}{1+x^2+y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ ;
5. $\underset{x\le x^2+y^2\le 1}{\iint }\frac{\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{(1+x^2+y^2{)}^2}$ ;
6. $\underset{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1}{\iint }(x^2-y^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$.

Exercice 1-10

Calculer $\underset{-a}{\overset{a}{\int }}(\underset{0}{\overset{\sqrt{a^2-y^2}}{\int }}(x^2+y^2{)}^{3/2}\mathrm{d}x)\mathrm{d}y$ Modèle:Solution

Exercice 1-11

Soient $0<a\le b$ et $0<c\le d$. Calculer l'aire de $\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid a\le y/x^2\le b,c\le xy\le d\}$. Modèle:Solution Soient $0<a\le b$ et $0<c\le d$. Calculer l'aire de $D=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid ax\le y\le bx,c\le xy\le d\}$. Modèle:Solution Soient $0\le a<b$ et $D=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid 0<x<y,a<xy<b,y^2-x^2<1\}$. Calculer $\underset{D}{\iint }(y^2-x^2{)}^{xy}(x^2+y^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$. On pourra effectuer le changement de variables $u=xy$, $v=y^2-x^2$. Modèle:Solution

Exercice 1-12

Pour tout $R>0$, soient $D_R=\{(x,y)\in ({ℝ}_{+}{)}^2\mid x^2+y^2\le R^2\}$ et $K_R=[0,R{]}^2$.

1. Montrer que

   $\underset{D_R}{\iint }{\mathrm{e}}^{-(x^2+y^2)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\le \underset{K_R}{\iint }{\mathrm{e}}^{-(x^2+y^2)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\le \underset{D_{2R}}{\iint }{\mathrm{e}}^{-(x^2+y^2)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$.

2. En déduire l'existence et la valeur de

   $\underset{R\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{0}{\overset{R}{\int }}{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t$.

Modèle:Solution Recalculer cette intégrale de Gauss $J:=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-x^2}\mathrm{d}x$ en appliquant le théorème de Tonelli à l'application $\phi :(x,y)\mapsto x{\mathrm{e}}^{-x^2(1+y^2)}$ sur $D={]0,+\mathrm{\infty }[}^2$. Modèle:Solution

Exercice 1-13

On considère le domaine borné $D$ délimité par les trois droites d'équations $x=0$, $y=x+2$ et $y=-x$. Calculer $\underset{D}{\iint }(x+y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ :

1. par calcul direct ;
2. en effectuant le changement de variables $(u,v)=(x+y,x-y)$.

Exercice 1-14

Soient $a,b>0$. On considère le domaine $D=\{(x,y)\in {ℝ}_{+}^2|\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1\}$ (on connaît son aire : $\pi ab/4$). Calculer :

1. $\underset{D}{\iint }(2x^3-y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ ;
2. les coordonnées du centre de gravité de $D$.

Exercice 1-15

L'objet de cet exercice est de calculer l'intégrale $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin x}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x$, dont on sait qu'elle est semi-convergente (Intégration de Riemann/Exercices/Intégrales impropres#Exercice 5-3).

Soit $f:{ℝ}^2\to ℝ,(x,y)\mapsto {\mathrm{e}}^{-x{y}^2}\sin x$.

1. Montrer que pour tout $x>0$, $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-x{y}^2}\mathrm{d}y=\frac{\sqrt{\pi }}{2\sqrt{x}}$ (on rappelle que $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$ : Intégrale de Gauss). En déduire que $f$ n'est pas intégrable sur ${[0,+\mathrm{\infty }[}^2$.
2. 1. Montrer que pour tout $a>0$, $f$ est intégrable sur $[0,a]\times [0,+\mathrm{\infty }[$ et en déduire que $\frac{\sqrt{\pi }}{2}\underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{\sin x}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{g}_a(y)\mathrm{d}y,$ où $g_a$ est une fonction que l'on déterminera sous forme intégrale.
   2. Montrer par une intégration simple que $g_a(y)=\frac{1-{\mathrm{e}}^{-a{y}^2}\cos a-y^2{\mathrm{e}}^{-a{y}^2}\sin a}{1+y^4},\mathrm{\forall }y>0.$
3. 1. Montrer que $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{g}_a(y)\mathrm{d}y$ a une limite quand $a$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ et calculer cette limite.
   2. En admettant que $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}y}{1+y^4}=\frac{\pi \sqrt{2}}{4}$ (Intégration de Riemann/Exercices/Intégrales impropres#Exercice 5-5), montrer que $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin x}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=\sqrt{\frac{\pi }{2}}$.

Exercice 1-16

Soient $f$ une fonction mesurable sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ et localement intégrable. On suppose que $K:=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(x)}{x}\mathrm{d}x$ existe et l'on pose

$F(x)=\{\begin{array}{cc}\underset{[1,x]}{\int }f(t)\mathrm{d}t& \text{ si }x\ge 1,\\ \underset{[x,1]}{\int }f(t)\mathrm{d}t& \text{ si }0<x<1.\end{array}$

Soit $0<a\le b$ ; démontrer que $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{F(bx)-F(ax)}{x^2}\mathrm{d}x$ existe et exprimer sa valeur en fonction de $a,b,K$. Modèle:Solution