Série numérique/Exercices/Critère d'Abel

Exercice 1

Appliquer le critère d'Abel pour étudier les deux séries de terme général :

• $a_n=\frac{\cos (nx)}{n{\ln }^{\beta }n}$, où $x$ et $\beta$ sont deux paramètres réels.

• $b_n=\frac{\sin n}{n^{\alpha }}$, où $\alpha$ est un paramètre réel.

Exercice 2

Comparer la nature des deux séries alternées suivantes :

• $\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{\sqrt{k}}$

• $\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{\sqrt{k}+(-1{)}^k}$

Exercice 3

Nature des trois séries :

• $\sum \frac{1+(-1{)}^n\sqrt{n}}{n}$

• $\sum \ln (1+\frac{(-1{)}^n}{n})$

• $\sum (-1{)}^n(1-\cos \frac{1}{\sqrt{n}})$.

Exercice 4

Nature des trois séries :

• $\sum \sin \frac{(-1{)}^{n}x}{n}$, pour $x\in ℝ$ ;

• $\sum (-1{)}^n\sqrt{n}\ln \frac{n+1}{n-1}$.

• $\sum \frac{(-1{)}^n}{n^{\alpha }{(1+\ln n)}^{\beta }}$.

Exercice 5

1. Montrer que la série $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}$ est convergente.
2. On note $S_n$ sa $n$-ième somme partielle. Vérifier que $\frac{1}{2n+1}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{2n}\mathrm{d}t$ et en déduire que $S_n-\frac{\pi }{4}$ est du signe de $(-1{)}^n$.
3. En déduire la somme de la série.
4. Écrire la formule de Taylor avec reste intégral de Laplace de la fonction $\arctan$ en 0 à l'ordre 2N + 2, évaluée au point 1, et comparer.

Exercice 6

Nature de la série $\sum \frac{(-1{)}^n}{n^{\alpha }+(-1{)}^n}$, selon la valeur du réel $\alpha >0$. Modèle:Solution

Exercice 7

Soient $(a_n)$ une suite monotone et bornée et $\sum b_n$ une série convergente. Montrer que $\sum a_n{b}_n$ est convergente. Modèle:Solution

Exercice 8

Démontrer que pour tout nombre complexe $z\ne -1$ de module $1$, la série $\ln (1+z):=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-z{)}^n}{n}$ converge. Modèle:Solution

Exercice 9

Soit $f(x)=\frac{x^3+a{x}^2+bx+c}{x^2+ax+d}$ avec $a,b,c,d\in ℝ$. Calculer $f(x)-x$ et montrer que la série $\sum \sin (\pi f(n))$ converge. À quelle condition la convergence est-elle absolue ? Modèle:Solution